Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2012 Soru 2

[ERhan ERdoğan]

$A$ ve $B$ noktalarında kesişen $k_{1}$ ve $k_{2}$ çemberlerine, sırasıyla $M$ ve $N$ noktalarında teğet olan $t$ doğrusu çiziliyor. $t \perp AM$ ve $ MN=2AM$ ise $\angle{NMB}$ nı bulunuz. 

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$t \perp AM$  olduğu için $AM \ , \ k_1$  in çapıdır.  $AB$  doğrusunu çizelim ve $MN$  ile kesişimine $K$  diyelim.  $\angle ABM$  açısı $AM$  yi yani çapı gördüğü için  $90^\circ$ dir. Aynı zamanda $AB$  nin iki çemberin kuvvet ekseni olduğunu biliyoruz. O zaman $AB$  üzerindeki  $K$  noktasının  iki çembere de kuvveti aynıdır. Dolayısıyla  $MK=KN$  olur. Bu da $AMK$  üçgeninin ikizkenar dik üçgen olması demektir.  $MB \perp AK$  olduğu için  $\angle BKM=\angle NMB=45^\circ$  bulunur.