Gönderen Konu: Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2012 Soru 1  (Okunma sayısı 1277 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1408
  • Karma: +12/-0
Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2012 Soru 1
« : Haziran 25, 2015, 04:26:14 ös »
$a,b,c$ pozitif reel sayıları $a+b+c=1$ koşulunu sağlıyorsa \[\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}+6 \geq 2\sqrt{2} \left ( \sqrt{\dfrac{1-a}{a}}+\sqrt{\dfrac{1-b}{b}}+\sqrt{\dfrac{1-c}{c}} \right) \] eşitsizliğini ispatlayınız.Eşitlik durumunu bulunuz.

Çevrimdışı mehmetutku

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 241
  • Karma: +4/-0
Ynt: Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2012 Soru 1
« Yanıtla #1 : Haziran 25, 2015, 05:07:43 ös »
(Mehmet Utku Özbek)

Soldaki ifadede aynı paydaları toplayarak yazıp düzenleyelim.

$\Longrightarrow \dfrac{b+c}{a}+\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{a+b}{c}+6=\dfrac{1-a}{a}+2+\dfrac{1-b}{b}+2+\dfrac{1-c}{c}+2$    olur.  Son ifadede  $\dfrac{1-a}{a}+2$  ye ve buna benzeyen terimlere A.G.O uygulanırsa  $\dfrac{1-a}{a}+2 \ge 2 \sqrt{\dfrac{2-2a}{a}}$   bulunur.  Bu da istenen ifadedir. İspat biter. 

Eşitlik durumu  $\dfrac{1-a}{a}=2$  yani $a=b=c=\dfrac{1}{3}$  olduğunda olur.
Geometri candır...

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal