$[AB]$ ve $[AC]$ nin orta noktaları sırasıyla $M_1$, $M_2$ olsun.
$[AB]$ nin orta dikmesi $AC$ yi $O_1$ noktasında, $[AC]$ nin orta dikmesi $AB$ yi $O_2$ noktasında kessin.
$(ABC)$ çemberinin merkezi $O$ noktası olsun. $O$ noktası, $O_1M_1$ ve $O_2M_2$ doğrularının kesim noktasıdır.
Soruda tanımlanan çemberler sırasıyla $O_1$ ve $O_2$ merkezli, $A$ dan geçen çemberlerdir.
$A$ noktası iki çemberin de ortak noktası olduğundan, bu çemberlerin kuvvet ekseni $A$ dan geçer. İki çemberin kuvvet ekseninin, bu çemberlerin merkezlerini birleştiren doğruya dik olduğunu da bildiğimizden $A$ dan $O_1O_2$ ye inilen dik, bahsi geçen kuvvet eksenidir.
Yani $AO \perp O_1O_2$ olduğunu göstermemiz soruyu çözecektir.
$AO_1O_2$ üçgenine bakılırsa, $O_1M_1$ ve $O_2M_2$ yüksekliktir. O halde bu iki yüksekliğin kesim noktası olan $O$ noktası, bu üçgenin diklik merkezidir. Bu da $AO \perp O_1O_2$ olduğunu gösterir.$\blacksquare$
