Tübitak Ortaokul 1.Aşama 2015 Soru 18

[ERhan ERdoğan]

Kaç farklı $m$ pozitif tam sayısı için, $n^2+3$ ve $(n+2)^2+2$ sayılarının her ikisini de $m$ nin katı yapan bir $n$ tam sayısı bulunabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt:$\boxed{D}$

Öklid algoritması uygulayabiliriz.  $m \mid n^2+3$  ve  $m \mid n^2+4n+6$  ise  $m \mid 4n+3$  olur.  $\Rightarrow m\mid 4n^2+3n$ .  Ayrıca  $m \mid 4n^2+12 \ \ \ \Rightarrow m \mid 3n-12 \ \ \ \ \Rightarrow m\mid 12n-48$   ve  $m\mid 12n+9 \ \ \ \Rightarrow  m \mid 57$    O zaman $m=1 \ , \ 3 \ , \ 19 \ , \ 57$   değerlerini alabilir.