Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 13

[ERhan ERdoğan]

Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde $|BA_{1}|=|A_{1}A_{2}|=|A_{2}C|$ olacak biçimde $A_{1}$ ve $A_{2}$ noktaları alınıyor. Benzer şekilde $[CA]$ kenarı üzerinde $|CB_{1}|=|B_{1}B_{2}|=|B_{2}A|$ olacak biçimde $B_{1}$ ve $B_{2}$ noktaları alınıyor. $AA_{1}$ doğrusu $BB_{1}$ ve $BB_{2}$ doğrularını sırasıyla $X$ ve $W$ noktalarında, $AA_{2}$ doğrusu da $BB_{1}$ ve $BB_{2}$ doğrularını sırasıyla $Y$ ve $Z$ noktalarında kesiyor. Buna göre $XYZW$ dörtgeninin alanının $ABC$ üçgeninin alanına oranı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{1}{9}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{4}{35}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{8}{63}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{9}{70}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{7}
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt:$\boxed{D}$

$4$  tane Menaleus uygulayacağız.

$\Longrightarrow \dfrac{|BA_1|}{|BC|}\cdot\dfrac{|CB_{1}|}{|B_1A|}\cdot\dfrac{|AX|}{|XA_1|}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{|AX|}{|XA_1|}=1 \ \ \ \Rightarrow  |AX|=6\cdot|XA_1|$

$\Longrightarrow \dfrac{|BA_1|}{|BC|}\cdot\dfrac{|CB_{2}|}{|B_2A|}\cdot\dfrac{|AW|}{|WA_1|}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{|AW|}{|WA_1|}=1 \ \ \ \Rightarrow 2\cdot|AW|=3\cdot|WA_1|$

Kolaylık olsun diye  $|AA_1|=35k$  diyelim.   O zaman bulduklarımızı yazarsak  $|AW|=21k \ , \ |WX|=9k \ , \ |XA_1|=5k$   olur.  $A(BXW)=9S$  diyelim. O zaman  $A(ABC)=105S$  olur.  Şimdi kalan iki Menaleusu yapalım.

$\Longrightarrow \dfrac{|BA_2|}{|BC|}\cdot\dfrac{|CB_{1}|}{|B_1A|}\cdot\dfrac{|AY|}{|YA_2|}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{|AY|}{|YA_2|}=1 \ \ \ \Rightarrow |AY|=3\cdot|YA_2|$

$\Longrightarrow \dfrac{|BA_2|}{|BC|}\cdot\dfrac{|CB_{2}|}{|B_2A|}\cdot\dfrac{|AZ|}{|ZA_2|}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{|AZ|}{|ZA_2|}=1 \ \ \ \Rightarrow 4\cdot|AZ|=3\cdot|ZA_2|$

Kolaylık olsun diye  $|AA_2|=28m$  diyelim.  O zaman bulduklarımızı yazarsak  $|AZ|=12m \ , \ |ZY|=9m \ , \ |YA_2|=7m$   olur.  $A(ABA_2)=70S$  olduğu için  $A(BZY)=\dfrac{45}{2}S$  olur.

$A(XYZW)=A(BYZ)-A(BXW)=\dfrac{45}{2}S-9S=\dfrac{27}{2}S$  bulunur.   $\dfrac{A(XYZW)}{A(ABC)}=\dfrac{\dfrac{27}{2}S}{105S}=\dfrac{9}{70}$   bulunur.

[ERhan ERdoğan]

Teorem: $AB$ ve $PQ$ doğruları bir $M$ noktasında kesişsinler. Buna göre, $\dfrac{A(ABP)}{A(ABQ)}=\dfrac{|PM|}{|QM|}$ eşitliği geçerlidir.

İspat: Şekil-1 de bu duruma uygun çizimler verilmiştir.

$\dfrac{A(ABP)}{A(ABQ)}=\dfrac{A(ABP)}{A(AMP)}\cdot \dfrac{A(AMP)}{A(AMQ)}\cdot \dfrac{A(AMQ)}{A(ABQ)} = \dfrac{|AB|}{|AM|}\cdot\dfrac{|PM|}{|QM|}\cdot\dfrac{|AM|}{|AB|}=\dfrac{|PM|}{|QM|}$ dir.

$A(ABC)=\Delta$ diyelim.

$\dfrac{A(CAZ)}{A(ABZ)}=\dfrac{|CA_{2}|}{|BA_{2}|}=\dfrac{|CB_{1}|}{|AB_{1}|}=\dfrac{A(BCZ)}{A(ABZ)}=\dfrac{1}{2}$ ve  $A(ABZ)+A(BCZ)+A(CAZ)=\Delta $ olduğundan $A(ABZ)=\dfrac{\Delta}{2}$ dir.

$\dfrac{A(CAX)}{A(ABX)}=\dfrac{|CA_{1}|}{|BA_{1}|}=\dfrac{|CB_{2}|}{|AB_{2}|}=\dfrac{A(BCX)}{A(ABX)}=2$ ve $ A(ABX)+A(BCX)+A(CAX)=\Delta $ olduğundan $A(ABX)=\dfrac{\Delta}{5}$ dir.

$\dfrac{A(CAY)}{A(ABY)}=\dfrac{|CA_{2}|}{|BA_{2}|}=\dfrac{|AB_{2}|}{|CB_{2}|}=\dfrac{A(ABY)}{A(BCY)}=\dfrac{1}{2}$ ve  $A(ABY)+A(BCY)+A(CAY)=\Delta $ olduğundan $A(ABY)=\dfrac{2\Delta}{7}$ dir.

Benzer şekilde $A(BAW)=\dfrac{2\Delta}{7}$ dir.

Buna göre, $A(XYZW)=A(ABZ)+A(ABX)-A(ABY)-A(BAW)=\dfrac{\Delta}{2}+\dfrac{\Delta}{5}-\dfrac{2\Delta}{7}-\dfrac{2\Delta}{7}=\dfrac{9\Delta}{70}$ olur.