Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 16

[ERhan ERdoğan]

Bir çember etrafına yüz sayı dizilmiştir. Saat yönünde kendisinden sonra gelen ilk iki sayıdan büyük olan sayılara $A$ tipi, saat yönünde kendisinden önce gelen ilk iki sayıdan küçük olan sayılara ise $B$ tipi sayı diyelim (bir sayı hem $A$ hem de $B$ tipi olabilir). $A$ tipi sayıların sayısı $80$ ise, $B$ tipi sayıların sayısı en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 60
\qquad\textbf{b)}\ 61
\qquad\textbf{c)}\ 62
\qquad\textbf{d)}\ 63
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

Cevap: $61$.
$A$ olmayanlara $C$ diyelim. Bir $C$ ve $C$ den önce gelen en uzun $A$ tipli sayı grubuna blok diyelim. Toplamda $100-80=20$ tane $C$ tipi sayı var. Demek ki $20$ blok var (bloklar tek elemanlı olabiliyor). En büyük sayı $T$ olsun. $T$ den önce gelen iki sayı da $C$ tipidir. O zaman en az bir blokun eleman sayısı birdir. Her blokta soldan ilk $2$ eleman dışındakiler $B$ tipidir. Demek ki en az $100-19 \cdot 2-1=61$ $B$ tipi sayı vardır. $19$ blokun her birinin en az $4$ elemanlı olduğu durum $61$ için örnek oluşturur.

Kaynak: Tübitak 23. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2015