Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 20

[ERhan ERdoğan]

Başlangıçta $101$ top içeren bir kırmızı kutu ve boş bir beyaz kutu bulunuyor. Aslı ve Burak sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Aslı her hamlesinde bir pozitif tam sayı seçiyor ve kırmızı kutudan seçtiği sayıda topu beyaz kutuya aktarıyor. Burak da her hamlesinde bir pozitif tam sayı seçiyor ve beyaz kutudan seçtiği sayıda topu kırmızı kutuya aktarıyor. Bir sayı en fazla bir kez seçilebiliyor. Sırası gelen oyuncu hamle yapamazsa oyun bitiyor. İlk hamleyi yapan Aslı, beyaz kutuda en fazla kaç top kalmasını garantileyebilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 49
\qquad\textbf{c)}\ 50
\qquad\textbf{d)}\ 51
\qquad\textbf{e)}\ 101
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt:$\boxed{E}$

Aslı'nın bütün topların beyaz kutuda kalmasını garantileyebileceğini gösterelim. Aslı kırmızı kutudan $1$  top alamaz. Çünkü o zaman Burak'ın alabileceği top sayısı sadece $1$ olabilir ama daha önce kullanılmıştı. Aslı kırmızı kutudan $2$ top alsın. Şimdi beyaz kutuda $2$ top var. Burak'ın alabileceği top sayısı sadece  $1$  dir çünkü $2$ kullanıldı. Burak  $1$ topu kırmızı kutuya aktarır. Şu an beyaz kutuda $1$ top var. Ve  $1$  ve  $2$  sayıları kullanıldı. Aslı kırmızı kutudan $3$ topu beyaz kutuya aktarsın.  Şu an beyaz kutuda $4$  top var  ve  $1 \ , \ 2 \ , \ 3$  sayıları kullanıldı. Yani Burak sadece $4$ top alabilir. Burak  $4$ topu da kırmızı kutuya aktarsın.  Şimdi  kırmızı kutuda  $101$  beyaz kutuda $0$  top var.  Yani en başa döndük . Ve  $1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4$   sayıları kullanıldı.

Aslı yine benzer şekilde  $5$ top alamaz. Alırsa beyaz kutuda $5$ top olmuş olacak ve $1$ den $5$ e kadar bütün sayılar kullanıldığından Burak hamle yapamayacak.  Dolayısıyla Aslı $6$  top alır.  Ve benzer şekilde oyun devam eder. Görüldüğü gibi ilk $4k$ sayı kullanıldığında Aslı  beyaz kutuda $0$ top kalmasını garantileyebiliyor. O zaman $1$ den $100$ e kadar sayılar kullanıldığında yine beyaz kutuda $0$  top kalacak. Ve sıra Aslı' da olacak. Aslı 'ya sadece $101$ sayısı kaldı. Aslı $101$  topu da beyaz kutuya aktarır. Son durumda $1$ den $101$ e kadar bütün sayılar kullanıldı.  Ve beyaz kutuda $101$ top var. Yani Burak hamle yapamıyor. Aslı $101$ topun beyaz kutuda kalmasını garantilemiş oldu.