Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 25

[ERhan ERdoğan]

Köşeleri bir çember üzerinde bulunan bir $ABCDE$ beşgeninin kenar uzunlukları $|AB|=|BC|=7 , |CD|=|AE|=15$ ve $|DE|=24$ olarak veriliyor. Bu beşgenin alanı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 112
\qquad\textbf{b)}\ 168
\qquad\textbf{c)}\ 210
\qquad\textbf{d)}\ 276
\qquad\textbf{e)}\ 360
$

[halils00]

Biraz uzun bir çözüm ama elimden gelen en iyi çözüm bu önce uzun sayfadan başlıyor. Birde ikinci sayfada fazladan bir çizgi çizdim yanlışlıkla hatam için özür dilerim.

[ERhan ERdoğan]

Yanıt : $\boxed{D}$

$[ED]$ nin orta dikmesinin $B$ den geçtiği açıktır. Orta dikmenin çemberi ve $[ED]$ yi kestiği noktalar sırasıyla $K$ve $T$ olsun. $ \angle{BED}=\alpha \Rightarrow \angle{BAE}=180-\alpha$ olur. $ABE$ üçgeninde kosinüs teoreminden $|BE|^2 = 274+210\cdot cos{\alpha}$ dir ayrıca $BTE$ üçgeninde $cos{\alpha}=\dfrac{12}{|BE|}$ olduğundan bu iki ifadeden $|BE|^3-274|BE|-2520=0$ denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümünden (birazda sezgisel olarak) $|BE|=20$ bulunur.Buna göre $|BT|=16$ dır. Sonuç olarak $|ABCDE| = 2 \left (|ABE|+|BTE|  \right ) =2 \left (42+96  \right ) = 276$ dır.