Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 29

[ERhan ERdoğan]

İç teğet çemberinin merkezi $I$ olan ve $|AB|=3 , |BC|=7 , |CA|=5$ koşullarını sağlayan bir $ABC$ üçgeni verilmiştir. $BIC$ üçgeninin çevrel çemberi üzerinde $BC$ doğrusuna göre $I$ ile farklı tarafta kalacak biçimde alınan bir $D$ noktasından $[BC]$kenarına inilen dikmenin ayağı $E$ dir. Buna göre, $\dfrac{|BE|}{|CE|}=\dfrac{9}{5}$ ise $m\left ( \widehat{BAD} \right )$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 30^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 45^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 60^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 75^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 90^\circ
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt : $\boxed{C}$

$\dfrac{|BE|}{|CE|}=\dfrac{9}{5}$ ve $|BC|=7$ için $|BE|=\dfrac{9}{2} , |CE|=\dfrac{5}{2}$ dir. $|AC|+|CE| = |AB|+|BE|=s$ olduğundan $E$ noktası $ABC$ üçgeninin dış çemberinin $[BC]$ kenarına teğet olduğu noktadır.$[BC]$ ye teğet olan çemberin merkezi $BIC$ üçgeninin çevrel çemberi üzerinde olacağından bu merkez problemde bahsedilen $D$ noktasıdır. Kosinüs teoreminden $\angle{BAC}=120^\circ$ olup $\angle{BAD}=60^\circ$ dir. 

$s : ABC$ üçgeninin yarı çevresidir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$AI$ doğrusu $BC$'yi $F$ noktasında kessin. $(BIC)$'nin merkezi $O$ noktası, yarıçapı ise $r$ olsun. $O$'dan $BC$'ye inilen dikme ayağı $H$ olmak üzere Açıortay Teoremi ve problem koşuluyla biraz hesaplama sayesinde $BF=\dfrac{21}{8},FH=\dfrac{7}{8},HE=1$ elde edilebilir. Ayrıca $[AI$ ışınının $(ABC)$ 'yi tekrar kestiği nokta, $(BIC)$'nin merkezi $O$ noktasıdır. Kosinüs Teoremi'nden $\angle BAI=\angle BCO=\angle CAI=\angle OBC=60^{\circ}$
 dolayısıyla $\triangle BCO$'nun eşkenar olduğu bulunabilir. Buradan $r=7$ elde edilir. Ayrıca Açıortay Teoremiyle hem $AF=\dfrac{15}{8}$ hem de
$$IF=\dfrac{AF.\dfrac{21}{8}}{\dfrac{21}{8}+3}=\dfrac{7}{8}$$
olduğu belirlenir. Buna göre $FO=\dfrac{49}{8}, OD=7$ olduğundan  $\triangle FOH \sim \triangle DOE$, dolayısıyla $F,O,H$ noktaları doğrudaş olur. $A,I,F,O$ başta belirtildiği üzere doğrudaş olduklarından $D$ noktası da bu doğru üzerinde yer alır. Yani $\angle BAD=BAI=60^{\circ}$ olarak elde edilir.