Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 05

[mehmetutku]

Bir $ABCD$ karesinin $[AC]$ köşegeni üzerinde $|AE|=|EF|=|FC|$ olacak şekilde  $E$ ve $F$ noktaları alınıyor. $ACD$ üçgeninin iç bölgesinde bulunan ve $AD$ kenarına teğet olan $O_1$ merkezli bir çember $AC$ kenarına da $E$ noktasında teğettir. Benzer şekilde $ACD$ üçgeninin iç bölgesinde bulunan ve $CD$  kenarına teğet olan $O_2$ merkezli bir çember $AC$ kenarına da $F$ noktasında teğettir. Buna göre $BO_{1}O_{2}$ üçgeninin alanının $DO_{1}O_{2}$ üçgeninin alanına oranı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{13+12\sqrt{2}}{17}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{3+2\sqrt{2}}{5}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{7+4\sqrt{2}}{13}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{12+5\sqrt{2}}{9}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{18+8\sqrt{2}}{21}
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt: $\boxed{A}$

Oran sorduğu için işlemi kolaylaştırmak adına değer verebiliriz.  $|AE|=|EF|=|FC|=\sqrt{2}$  diyelim. $|O_{1}E|=r$  olsun.  $O_{1}EA$  dik üçgen ve $AO_1$ açıortaydır. Dolayısıyla $\angle O_1AE=22.5^\circ$  dir.  $\tan 22.5=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$  dir.  O zaman

$\dfrac{r}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$  ve  $r=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$   dir.  İki çemberin eş olduğunu biliyoruz. Çünkü $BD$  köşegenine göre simetrik ve aynı konumdalar. Yani $O_{1}O_{2}FE$  dikdörtgendir.  $BD$  köşegenini  çizelim. $|O_1O_2|$  kesiştiği nokta  $H$ olsun.

$BD \perp AC$   ve  $AC // O_1O_2$  olduğu için  $BD \perp O_1O_2$  dir.   Üçgenlerin alanları oranı doğrudan $\dfrac{|BH|}{|DH|}$  a eşittir. $BD$  ile $AC$  kesişimi $K$ olsun.  $|BH|=|BK|+|KH|=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+r=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{6+5\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+2}$  olur. 

$|DH|=|DK|-|KH|=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-r=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{6+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+2}$    olur.   Böylece  $\dfrac{|BH|}{|DH|}=\dfrac{6+5\sqrt{2}}{6+\sqrt{2}}=\dfrac{13+12\sqrt{2}}{17}$  bulunur.