Gönderen Konu: Balkan Matematik Olimpiyatı 2015 Soru 4  (Okunma sayısı 1321 defa)

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 335
  • Karma: +7/-0
Balkan Matematik Olimpiyatı 2015 Soru 4
« : Mayıs 06, 2015, 01:06:32 öö »
Her hangi $20$ ardışık pozitif tam sayı arasında bulunan öyle bir $d$ tam sayısının olduğunu gösteriniz k, her $n$ pozitif tam sayısı için $$n\sqrt d \{n\sqrt d\} > \dfrac{5}{2}$$eşitsizliği doğru olsun. Burada $\{x\}$ ile $x$ gerçel sayısının kesirli kısmı gösterilmiştir. Bir $x$ gerçel sayısının kesirli kısmı, $x$ ile $x$ den küçük veya eşit en büyük tam sayının farkına eşittir.
« Son Düzenleme: Nisan 14, 2016, 09:35:16 ös Gönderen: Eray »
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 257
  • Karma: +6/-0
Ynt: Balkan Matematik Olimpiyatı 2015 Soru 4
« Yanıtla #1 : Aralık 30, 2019, 10:40:49 ös »
$d\equiv 15\pmod {20}$ olan bir $d$ değeri için sağlayacağını gösterelim. Burada $d$, $5$'in bir katıdır ve $d\equiv 3\pmod 4$ olduğundan en az $1$ tane $4k+3$ formatında asal böleni vardır ve tam kare değildir. $\lfloor n\sqrt{d}\rfloor =m$ olsun.($\lfloor x\rfloor$ tamdeğer fonksiyonudur.) $$n\sqrt{d}\left \{n\sqrt{d}\right \}=n\sqrt{d}\left ( n\sqrt{d}-m\right )=\left (n\sqrt{d}\right )\dfrac{n^2d-m^2}{n\sqrt{d}+m}>\left (n\sqrt{d}\right )\dfrac{n^2d-m^2}{2n\sqrt{d}}=\dfrac{n^2d-m^2}{2}$$ olur. $n^2d>m^2$ olduğunu biliyoruz. Şimdi şu durumları inceleyelim,

i) $n^2d=m^2+1$ ise $d$'yi bölen $4k+3$ formatında bir $p$ asal sayısı olduğunu biliyoruz, $p$ için $m^2\equiv -1\pmod p$ olur. Çelişki
ii) $n^2d=m^2+2$ ise $d$, $5$'e bölündüğünden $m^2\equiv 3\pmod 5$ olur. Çelişki
ii) $n^2d=m^2+3$ ise $d$, $5$'e bölündüğünden $m^2\equiv 2\pmod 5$ olur. Çelişki
iv) $n^2d=m^2+4$ ise $p$ için $\left (\dfrac{m}{2}\right )^2\equiv -1\pmod p$ olur. Çelişki

dolayısıyla $n^2d\geq m^2+5$ olur. Buradan $$n\sqrt{d}\left \{n\sqrt{d}\right \}>\dfrac{n^2d-m^2}{2}\geq \dfrac{5}{2}$$ $$n\sqrt{d}\left \{n\sqrt{d}\right \}>\dfrac{5}{2}$$ bulunur. Dolayısıyla ardışık $20$ sayıdan $d\equiv 15\pmod {20}$ olanı eşitsizliği sağlar.
« Son Düzenleme: Aralık 30, 2019, 11:20:01 ös Gönderen: metonster »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal