Öncelikle $13x_0+7y_0=1$ olacak şekildeki $(x_0,y_0)$ tamsayı ikililerini bulalım. Elle denenerek $(x_0,y_0)=(-1,2)$ çözümü bulunur. Dolayısıyla $$13x+7y=a$$ denkleminin bir çözümü $(x,y)=(-a,2a)$'dır. Tüm çözümleri de (modüler aritmetikten) $k\in\mathbb{Z}$ için $(x,y)=(7k-a,2a-13k)$ formatındadır. Eğer doğal sayı çözümü olmasını istiyorsak $7k\geq a$ ve $2a\geq 13k$ veya ikisini birleştirirsek $14k\geq 2a\geq 13k$ şeklinde bir $k$ tamsayısı olmalıdır. Dolayısıyla $13x+7y$ formatında yazılamayan $a$ doğal sayıları için $\frac{a}{7}\leq k\leq \frac{2a}{13}$ şeklinde bir $k$ tamsayısı olmamalıdır. $a=0$'ın yazılabildiği bariz olduğundan $a\geq 1$ kabul edeceğim.
Öncelikle eğer sınırlar arasındaki fark $1$ veya daha büyük olursa arasında kesinlikle bir tamsayı olacağından* $\frac{2a}{13}-\frac{a}{7}=\frac{a}{91}< 1$ veya denk olarak $a\leq 90$ olmalıdır. Ancak bu sayıların bazıları yine de $13x+7y$ formatında yazılabilir. Ayrıca $\frac{a}{7}$'den büyük en küçük tamsayı $\left\lceil \frac{a}{7}\right\rceil$ olduğundan bu tamsayının aralık dışında kalması gerekir, aksi taktirde $k$'yı bu sayı seçebiliriz. Yani aradığımız $a$ değerleri için $$\left\lceil\frac{a}{7}\right\rceil> \frac{2a}{13}$$ olmalıdır. Bu eşitsizlik gerek ve yeterli şarttır. İspatı kolay olduğundan göstermeyeceğim.
Şimdi $q\geq 0$ ve $1\leq r\leq 7$ için $a=7q+r$ yazalım (tam olarak bölme algoritması değil ama böyle de kullanılabilir). Bu durumda $\left\lceil\frac{a}{7}\right\rceil=q+1$ olacaktır. Buradan $$q+1\geq \frac{2(7q+r)}{13}=q+\frac{q+2r}{13}\implies 13> q+2r\implies 12\geq q+2r$$ olur.
$r=7$ için uygun $q$ yoktur.
$r=6$ için $0\geq q$ olur sadece $1$ tane ikili bulunur.
$r=5$ için $2\geq q$ olur, $3$ tane ikili vardır.
$r=4$ için $4\geq q$ olur, $5$ tane ikili vardır.
$r=3$ için $6\geq q$ olur, $7$ tane ikili vardır.
$r=2$ için $8\geq q$ olur, $9$ tane ikili vardır.
$r=1$ için $10\geq q$ olur, $11$ tane ikili vardır. Toplamda $1+3+5+7+9+11=36$ tane sayı elde ederiz.
(*): Eğer $b-a\geq 1$ ise $\lfloor b\rfloor \in [a,b]$ olur çünkü $a\leq b-1<\lfloor b\rfloor \leq b$ olacaktır. Her $(q,r)$ çifti için farklı bir $a$ geleceğinden bu eşitsizliği sağlayan $(q,r)$ çiftlerinin sayısını bulmamız yeterlidir.
Şimdilik çözümde bir hata göremedim ama uygun bir vakitte python ile sayının doğruluğunu test edeceğim.
