Tübitak Lise Takım Seçme 2015 Soru 8

[mehmetutku]

İç teğet çemberinin merkezi $I$, çevrel çemberinin merkezi $O$ olan ve $|AC| \gt |BC| \gt |AB|$ koşulunu sağlayan bir $ABC$ üçgeninde iç teğet çember $BC, CA, AB$  kenarlarına sırasıyla  $D, E, F$ noktalarında teğettir. $A$ noktasının $F$ ve $E$ ye göre simetrikleri sırasıyla $F_{1}$ ve $E_{1}$  olmak üzere; $BC$ doğrusuna $D$ de teğet olan ve $F_{1}$ den geçen çember $AB$ doğrusunu ikinci kez $F_{2}$ de, $BC$ doğrusuna $D$ de teğet olan ve $E_{1}$ den geçen çember ise $AC$ doğrusunu ikinci kez $E_{2}$ de kesiyor. $OE$ ve  $IF$ doğru parçalarının orta noktaları sırasıyla $P$ ve $Q$ olmak üzere,$$|AB|+|AC|=2\cdot |BC| \Longleftrightarrow PQ \perp E_{2}F_{2}$$olduğunu gösteriniz.

(Fehmi Emre Kadan)