Tübitak Lise Takım Seçme 2015 Soru 1

[mehmetutku]

$l, m, n$ pozitif tam sayılar ve $p$ bir asal sayı olmak üzere, $$p^{2l-1}m(mn+1)^2+m^2$$ bir tam kare ise, $m$ nin de bir tam kare olduğunu gösteriniz.

(Şahin Emrah, Melih Üçer)

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

İfadeyi $m$ parantezine alalım.

$\Longrightarrow m[\ p^{2l-1}(mn+1)^2+m]=x^2$         

Eğer $m$ tam kare değilse $m$  in  ikinci parantezi bölmesi gerekir.  $m$  ile $(mn+1)^2$  aralarında asal olduğu için $m \mid p^{2l-1}$   olmalıdır.   O zaman $m=p^a$  formundadır. Eğer $a$ nın tek olmaması gerektiğini gösterirsek ispat biter.  Şimdi  ifadede $m=p^a$ yazalım.

$\Longrightarrow m[\ p^{2l-1}(mn+1)^2+m]=p^a[\ p^{2l-1}(p^{a}n+1)^2+p^a]=p^{2a}[\ p^{2l-a-1}(p^{a}n+1)^2+1]=x^2$

Dolayısıyla son ifadedeki ikinci parantez de tam kare olmalıdır.

$\Longrightarrow p^{2l-a-1}(p^{a}n+1)^2+1=y^2$

Eğer $a$ tek olursa $2l-a-1$  çift olacağından ifade  aslında $c=p^{\tfrac{2l-a-1}{2}}(p^{a}n+1)$   olmak üzere   $c^2+1=y^2$  halindedir.  Bunun da pozitif tamsayılarda çözümü yoktur. Yani $a$ tek olamaz. İspat biter.

[kriptoman]

"Eğer m tamkare değilse m ikinci parantezi bölmesi gerekir" kısmı hatalı olmuş.

[AtakanCİCEK]

$m$  nin asal çarpanlarına ayrılmış halinde kuvveti tek olan en az bir asal çarpanı vardır. deyip bu sayı ile bölerlik testleri yapılmalı diye düşünüyorum.

[Squidward]

$m[\ p^{2l-1}(mn+1)^2+m]=x^2$ ifadesinde $q$ bir asal olsun, $m$'yi bölsün ve $q \ne p$ olsun, $q$ köşeli parantezle aralarında asaldır yani $q$'nun üssü çifttir, şimdi incelenmesi gereken $p$ asalının üssüdür.

Eğer $p$'nin üssü çift ise kanıt biter, $m$ tamkaredir.

Eğer $p$'nin üssü tek ise m, $m = p^{2k+1} \cdot A^2$, $OBEB(p, A) = 1$ şeklinde yazılabilir. $A^2 \cdot p^{2k+1}[\ p^{2l-1}(mn+1)^2+m]$ ifadesinin tam kare olabilmesi için $p^{2l}(mn+1)^2+pm=(p^l(mn+1))^2+pm$ ifadesinin tam kare olabilmesi gerekir fakat $(p^l(mn+1) +1)^2 > (p^l(mn+1))^2+pm > (p^l(mn+1))^2$ yani ifade tam kare olamaz, gösterilmek istenen de buydu. $\blacksquare$