köklü denklemler

[Lokman Gökçe]

Problem 1:   $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$ olmak üzere   $2\cos\alpha = \sqrt{2-\sqrt{2+2\cos\alpha}}$   ise $\alpha$ kaç derecedir?



Problem 2:   $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$ olmak üzere   $2\sin\alpha = \sqrt{2+\sqrt{2+2\sin\alpha}}$   ise $\alpha$ nın alabileceği değerlerin toplamı kaç derecedir?

Lokman GÖKÇE

[Lokman Gökçe]

Problem 1 için 1. Çözüm:

       $2\cos\alpha = \sqrt{2-\sqrt{2+2\cos\alpha}}$

$\Longrightarrow 2\cos\alpha = \sqrt{2-\sqrt{2+2  ( 2 \cos^2 {\dfrac{\alpha}{2}} -1})  } $

$\Longrightarrow 2\cos\alpha = \sqrt{2-2\cos{\dfrac{\alpha}{2}}  } $

$\Longrightarrow 2\cos\alpha = \sqrt{2-2(1-2\sin^2{\dfrac{\alpha}{4}}) } $

$\Longrightarrow 2\cos\alpha = 2\sin{\dfrac{\alpha}{4}} $

        olup $\alpha + \dfrac{\alpha}{4} = 90^\circ$ ve buradan $\alpha = 72^\circ$ elde edilir.

[Lokman Gökçe]

Problem 1 için 2. Çözüm:

$2\cos\alpha = \sqrt{2-\sqrt{2+2\cos\alpha}}$  ifadesinde $x=2\cos\alpha$ dönüşümü yapalım. $0 \leq x \leq 2$ dir.

Denklem: $x=\sqrt{2-\sqrt{2+x}}$ biçimine gelir. Kare alma işlemleriyle $(x^2-2)^2= 2+x$ olup $x^4-4x^2-x+2=0$ dördüncü dereceden denklemi elde edilir.

Bu denklemin iki kökünün $x=-1$ ve $x=2$ olduğunu görmek kolaydır. Ancak bu değerler $x=\sqrt{2-\sqrt{2+x}}$ denklemini sağlamaz.

$x^4-4x^2-x+2$ polinomunda $(x+1)(x-2)$ çarpanı vardır ve polinom bölmesi yapılırsa $x^4-4x^2-x+2=(x+1)(x-2)(x^2+x-1)$ olduğu görülür.

$x^2+x-1=0$ denkleminin pozitif kökü $x=\dfrac{\sqrt5 -1}{2}$ dir. Buradan $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt5 -1}{4}$ olup $\alpha = 72^\circ$ elde edilir.

[Lokman Gökçe]

Problem 2 İçin 1. Çözüm: $\alpha = 90^\circ - \beta$ dönüşümü yapalım.

        $2\sin\alpha = \sqrt{2+\sqrt{2+2\sin\alpha}}$

$\Longrightarrow 2\cos\beta = \sqrt{2+\sqrt{2+2\cos\beta}}$

$\Longrightarrow 2\cos\beta = \sqrt{2+\sqrt{2+2  ( 2 \cos^2 {\dfrac{\beta}{2}} -1})  } $

$\Longrightarrow 2\cos\beta = \sqrt{2+2\cos{\dfrac{\beta}{2}}  } $

$\Longrightarrow 2\cos\beta = \sqrt{2+2(2\cos^2{\dfrac{\beta}{4}}-1) } $

$\Longrightarrow 2\cos\beta = 2\cos{\dfrac{\beta}{4}} $

olup $\beta = \dfrac{\beta}{4} $ tür. Buradan $\beta = 0^\circ$ olup tek değer $\alpha = 90^\circ$ elde edilir.

[Lokman Gökçe]

Problem 2 İçin 2. Çözüm:

$2\sin\alpha = \sqrt{2+\sqrt{2+2\sin\alpha}}$ denkleminde $x=2\sin \alpha$ dönüşümü yaparsak $0 \leq x \leq 2$ olup denklem:

$x = \sqrt{2+\sqrt{2+x}}$ biçimine gelir. Bu denklemde $x \geq \sqrt2$ olduğu aşikardır. Kare alma işlemleriyle $(x^2-2)^2=2+x$ yazarız. Düzenlersek

$x^4 - 4x^2 -x + 2 = 0$ dördüncü dereceden denklemi elde edilir. Önceki problemde olduğu gibi $x=-1$ ve $x=2$ kökleri yardımıyla

$(x+1)(x-2)(x^2+x-1)=0$ şeklinde çarpanlara ayrılmış halde yazabiliriz. $x=2$ değerinin orijinal denklemi sağladığını görmek kolaydır.

$x^2+x-1=0$ denkleminin pozitif kökü $x=\dfrac{\sqrt5-1}{2}$ dir. Ancak bu kök $x \geq \sqrt2$ şartına uygun değildir.

O halde tek çözüm $x=2$ dir. Buna göre $2\sin\alpha = 2$ ve $\alpha = 90^\circ$ elde edilir.