yükseklik-2 {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

$m(\widehat{ABC})=45^\circ$ olan dar açılı $ABC$ üçgeninde $[AD]$, $[BE]$, $[CF]$ yükseklikleri $H$ noktasında kesişiyor. $H$ noktasının $DF$ doğrusuna uzaklığı $2$ ise, $|DE|+|EF|-|DF|$ ifadesinin değeri nedir?

(L. Gökçe)

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Bir $ABC$ üçgeninde $[AD], \ [BE], \ [CF]$ yükseklikleri çizilirse  $DEF$  üçgeninde $[AD], \ [BE], \ [CF]$  açıortaylar olur. İspatı kirişler dörtgenlerini kullanarak çok basittir. Bu lemmayı kullanacağız. O zaman bu soruda da $H$ noktası

$DEF$  üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olur. $H$  den  $DF, \ FE, \ DE$  ye inilen dikmelerin ayakları sırasıyla  $G, \ I, \ J$  olsun. Dolayısıyla $[HG], \ [HI], \ [HJ]$  doğru parçalarının üçü de $DEF$  üçgeninin iç teğet çemberinin

yarıçapıdır ve uzunlukları $2$  dir.  Bu iç teğet çember kenarlara $G, \ I, \ J$  noktalarında teğettir. O zaman $|DG|=a$  dersek $|DJ|=a$  olur.  Benzer şekilde $|FG|=b$ dersek $|FI|=b$  olur  ve  $|EI|=c$  dersek  $|EJ|=c$  olur.

İstenen ifade  $|DE|+|EF|-|DF|= (c+a)+(c+b)-(a+b)=2c$  olur.   O zaman $2c$ nin değerini bulursak soru biter. $\angle ABC=45^\circ$  olduğu için $\angle FAD=\angle FCD=45^\circ$  olur. $FAEH$  ve  $DCEH$  kirişler dörtgeni

olduğu için $\angle FEH= \angle DEH= 45^\circ$  olur. O zaman $HJE$  ve  $HIE$  ikizkenar dik üçgen olur. Herhangi birine baksak yeter. $HJE$ üçgeninde $|HJ|=2$  idi.  O zaman $|EJ|=c=2$  olur. Bizden istenen ise  $2c=4$  olarak

bulunur.

[Lokman Gökçe]

Problemimizin çözümü şu kolay lemmaya dayanıyor.
 
Lemma: Bir dik üçgende, iç teğet çemberin yarıçapının $2$ katı, dik kenarların uzunlukları toplamından hipotenüsün uzunluğunun çıkarılmasına eşittir.

İspatı yukarıda detaylıca verilmiştir. $H$ diklik merkezi $DEF$ ortik üçgeninin iç teğet çember merkezidir. Diğer bir deyişle $r_{DEF}=2$ verilmiştir. Geriye $m(\widehat{DEF})=90^\circ $ olduğunu göstermek kalıyor. $B$ noktası $DEF$ ortik üçgeni için bir dış teğet çember merkezi olduğundan $$ m(\widehat{ABC})= 90^\circ - \frac{m(\widehat{DEF})}{2} $$ eşitliği vardır. $m(\widehat{ABC})=45^\circ $ olduğundan $m(\widehat{DEF})=90^\circ $ elde edilir. Böylece $|DE|+ |EF| - |DF|= 2\cdot r_{DEF}=4$ olur.