Gönderen Konu: yükseklik-2 {çözüldü}  (Okunma sayısı 1409 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2943
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
yükseklik-2 {çözüldü}
« : Şubat 21, 2015, 12:46:57 öö »
$m(\widehat{ABC})=45^\circ$ olan dar açılı $ABC$ üçgeninde $[AD]$, $[BE]$, $[CF]$ yükseklikleri $H$ noktasında kesişiyor. $H$ noktasının $DF$ doğrusuna uzaklığı $2$ ise, $|DE|+|EF|-|DF|$ ifadesinin değeri nedir?

(L. Gökçe)
« Son Düzenleme: Mayıs 09, 2017, 03:38:53 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı mehmetutku

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 241
  • Karma: +4/-0
Ynt: yükseklik-2
« Yanıtla #1 : Şubat 23, 2015, 07:08:27 ös »
(Mehmet Utku Özbek)

Bir $ABC$ üçgeninde $[AD], \ [BE], \ [CF]$ yükseklikleri çizilirse  $DEF$  üçgeninde $[AD], \ [BE], \ [CF]$  açıortaylar olur. İspatı kirişler dörtgenlerini kullanarak çok basittir. Bu lemmayı kullanacağız. O zaman bu soruda da $H$ noktası

$DEF$  üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olur. $H$  den  $DF, \ FE, \ DE$  ye inilen dikmelerin ayakları sırasıyla  $G, \ I, \ J$  olsun. Dolayısıyla $[HG], \ [HI], \ [HJ]$  doğru parçalarının üçü de $DEF$  üçgeninin iç teğet çemberinin

yarıçapıdır ve uzunlukları $2$  dir.  Bu iç teğet çember kenarlara $G, \ I, \ J$  noktalarında teğettir. O zaman $|DG|=a$  dersek $|DJ|=a$  olur.  Benzer şekilde $|FG|=b$ dersek $|FI|=b$  olur  ve  $|EI|=c$  dersek  $|EJ|=c$  olur.

İstenen ifade  $|DE|+|EF|-|DF|= (c+a)+(c+b)-(a+b)=2c$  olur.   O zaman $2c$ nin değerini bulursak soru biter. $\angle ABC=45^\circ$  olduğu için $\angle FAD=\angle FCD=45^\circ$  olur. $FAEH$  ve  $DCEH$  kirişler dörtgeni

olduğu için $\angle FEH= \angle DEH= 45^\circ$  olur. O zaman $HJE$  ve  $HIE$  ikizkenar dik üçgen olur. Herhangi birine baksak yeter. $HJE$ üçgeninde $|HJ|=2$  idi.  O zaman $|EJ|=c=2$  olur. Bizden istenen ise  $2c=4$  olarak

bulunur.
« Son Düzenleme: Şubat 23, 2015, 07:10:44 ös Gönderen: mehmetutku »
Geometri candır...

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2943
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: yükseklik-2 {çözüldü}
« Yanıtla #2 : Ağustos 02, 2019, 01:09:40 öö »
Problemimizin çözümü şu kolay lemmaya dayanıyor.
 
Lemma: Bir dik üçgende, iç teğet çemberin yarıçapının $2$ katı, dik kenarların uzunlukları toplamından hipotenüsün uzunluğunun çıkarılmasına eşittir.

İspatı yukarıda detaylıca verilmiştir. $H$ diklik merkezi $DEF$ ortik üçgeninin iç teğet çember merkezidir. Diğer bir deyişle $r_{DEF}=2$ verilmiştir. Geriye $m(\widehat{DEF})=90^\circ $ olduğunu göstermek kalıyor. $B$ noktası $DEF$ ortik üçgeni için bir dış teğet çember merkezi olduğundan $$ m(\widehat{ABC})= 90^\circ - \frac{m(\widehat{DEF})}{2} $$ eşitliği vardır. $m(\widehat{ABC})=45^\circ $ olduğundan $m(\widehat{DEF})=90^\circ $ elde edilir. Böylece $|DE|+ |EF| - |DF|= 2\cdot r_{DEF}=4$ olur.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal