Karede Uzunluk - Alan

[Bozkurt]

Bir ABCD karesinin dış bölgesinde bir E noktası alınıyor.
AE = EB = 1 ve DE = 1 + kök2 ise karenin alanı nedir?

[Lokman Gökçe]

$AEB$ üçgenini $B$ noktası etrafında negatif yönde $90^{\circ}$ döndürerek $CFB$ üçgenini oluşturalım. Dönme açısından dolayı $m(\widehat{EBF})=90^{\circ}$ olur. İkizkenar dik $EBF$ üçgeninde $|EF|=\sqrt{2}$ dir. $EFC$ üçgeninde üçgen eşitsizliği yazılırsa $|EF|+|FC|=|EC|=1+\sqrt{2}$ eşitliğinin sağlandığını görürüz. Böylece $E,F,C$ noktalarının doğrusal olduğu anlaşılır. $AEC$ dik üçgeninden $|AC|^2=4+2\sqrt{2}$ olup $Alan(ABCD)=\dfrac{|AC|^2}{2}=2+\sqrt{2}$ olur.

[Bozkurt]

Çözümünüz çok hoş hocam. Ben de şöyle düşünmüştüm: AB=x dersek AC=x(kök2) olur. Bu durumda AEBC dörtgeninde Ptolemy Eşitsizligi uygularsak
x(1 + kök2) <= x + x(kök2) olur. İki taraf eşit olduğu için AEBC kirişler dörtgeni bulunur. Gerisi de basit bir diklik hesabı...

[Lokman Gökçe]

Aslında bu soru da benim hazırladığım problemlerden biridir. http://geomania.org/forum/fantezi-geometri-arsivi/ptolemy-esitsizligi/ dökümanının 6 numaralı sorusudur. Çözümü, Ptolemy eşitsizliği yardımıyla verilmiştir.

[Bozkurt]

Demek cok yayilmis. Ben de baska bi dokumanda gormustum. Elinize saglik.