Gönderen Konu: Balkan Matematik Olimpiyatı 2012 Soru 1  (Okunma sayısı 1470 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1707
  • Karma: +8/-0
Balkan Matematik Olimpiyatı 2012 Soru 1
« : Ocak 17, 2015, 11:37:20 ös »
$m(\widehat{ABC}) > 90^\circ$ olmak üzere, $A$, $B$ ve $C$ noktaları $O$ merkezli bir $\Gamma$ çemberi üzerinde olsun. $AB$ doğrusu ile $AC$ ye $C$ noktasında dik olan doğrunun kesişim noktası $D$ olsun. $D$ den geçen ve $AO$ ya dik olan doğruyu $\ell$ ile gösterelim. $\ell$ ile $AC$ doğrusunun kesişim noktası $E$; $\Gamma$ ile $\ell$ nin, $D$ ve $E$ arasında kalan kesişim noktası da $F$ olsun.
$BFE$ ve $CFD$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin birbirlerine $F$ noktasında teğet olduklarını kanıtlayınız.

Çevrimdışı mehmetutku

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 241
  • Karma: +4/-0
Ynt: Balkan Matematik Olimpiyatı 2012 Soru 1
« Yanıtla #1 : Ocak 21, 2015, 10:06:45 ös »
(Mehmet Utku Özbek)

$\ell  \ \cap \ AO={G}$  olsun.  $AG$  yi uzatalım  ve $\Gamma$  ile ikinci defa kesiştiği noktaya $H$  diyelim. Yani  $E \ \ , \ \triangle ADH$  nin diklik merkezidir.  $|AH| \ \ , \ \Gamma$  nın çapı olduğu için $HB \perp AB$  olmalıdır. Yani $|HB| \ \ , \ E$  den geçiyor.  Şimdi  $|FH|$  yi çizelim.  $\angle GAC=\alpha$ 

olsun.  $GADC$  kirişler dörtgeni olduğu için  $\angle GDC=\alpha$  olur. Aynı zamanda $A \ , \ B \ ,\ F \ , \ C \ , \ H$  çembersel olduğu için  $\angle HAC= \angle HBC= \angle HFC= \alpha$  dır. Görüldüğü gibi  $\angle FDC=\angle HFC=\alpha $  çıktı.  O zaman $HF \ , \ \triangle FDC$  nin çevrel çemberine 

$F$  noktasında teğettir.

$\Longrightarrow  |HF|^2=|HC|\cdot |HD|$

$BECD$  bir kirişler dörtgenidir.

$\Longrightarrow  |HC|\cdot|HD|=|HE|\cdot|HB|$

$\Longrightarrow  |HF|^2=|HE|\cdot|HB|$

$\Longrightarrow HF \ , \ \triangle EBF$  ye $F$  de teğettir.

Sonuç olarak $HF$  hem $\triangle FDC$  nin hem de $\triangle EBF$  nin ortak teğetidir. İspat biter.

« Son Düzenleme: Ocak 21, 2015, 11:07:35 ös Gönderen: ERhan ERdoğan »
Geometri candır...

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal