Balkan Matematik Olimpiyatı 2012 Soru 1

[geo]

$m(\widehat{ABC}) > 90^\circ$ olmak üzere, $A$, $B$ ve $C$ noktaları $O$ merkezli bir $\Gamma$ çemberi üzerinde olsun. $AB$ doğrusu ile $AC$ ye $C$ noktasında dik olan doğrunun kesişim noktası $D$ olsun. $D$ den geçen ve $AO$ ya dik olan doğruyu $\ell$ ile gösterelim. $\ell$ ile $AC$ doğrusunun kesişim noktası $E$; $\Gamma$ ile $\ell$ nin, $D$ ve $E$ arasında kalan kesişim noktası da $F$ olsun.
$BFE$ ve $CFD$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin birbirlerine $F$ noktasında teğet olduklarını kanıtlayınız.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$\ell  \ \cap \ AO={G}$  olsun.  $AG$  yi uzatalım  ve $\Gamma$  ile ikinci defa kesiştiği noktaya $H$  diyelim. Yani  $E \ \ , \ \triangle ADH$  nin diklik merkezidir.  $|AH| \ \ , \ \Gamma$  nın çapı olduğu için $HB \perp AB$  olmalıdır. Yani $|HB| \ \ , \ E$  den geçiyor.  Şimdi  $|FH|$  yi çizelim.  $\angle GAC=\alpha$ 

olsun.  $GADC$  kirişler dörtgeni olduğu için  $\angle GDC=\alpha$  olur. Aynı zamanda $A \ , \ B \ ,\ F \ , \ C \ , \ H$  çembersel olduğu için  $\angle HAC= \angle HBC= \angle HFC= \alpha$  dır. Görüldüğü gibi  $\angle FDC=\angle HFC=\alpha $  çıktı.  O zaman $HF \ , \ \triangle FDC$  nin çevrel çemberine 

$F$  noktasında teğettir.

$\Longrightarrow  |HF|^2=|HC|\cdot |HD|$

$BECD$  bir kirişler dörtgenidir.

$\Longrightarrow  |HC|\cdot|HD|=|HE|\cdot|HB|$

$\Longrightarrow  |HF|^2=|HE|\cdot|HB|$

$\Longrightarrow HF \ , \ \triangle EBF$  ye $F$  de teğettir.

Sonuç olarak $HF$  hem $\triangle FDC$  nin hem de $\triangle EBF$  nin ortak teğetidir. İspat biter.