Gönderen Konu: denklem  (Okunma sayısı 2013 defa)

Çevrimdışı FEYZULLAH UÇAR

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 511
  • Karma: +10/-0
  • ŞanlıGümüşhane
denklem
« : Aralık 05, 2014, 12:39:16 öö »
SORU:[AIME2014/I]

$a,b,c$ pozitif tamsayı olmak üzere

$\dfrac{3}{x-3}$+$\dfrac{5}{x-5}$+$\dfrac{17}{x-17}$+$\dfrac{19}{x-19}$=$x^2-11x-4$
 
denkleminin köklerinden biri $m=a+\sqrt{b+\sqrt{c}}$ olduğuna göre, $a+b+c$ toplamını bulunuz
« Son Düzenleme: Aralık 09, 2014, 12:38:57 ös Gönderen: ERhan ERdoğan »
Kuyu derin değil ip kısa...

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 348
  • Karma: +7/-0
Ynt: denklem
« Yanıtla #1 : Aralık 05, 2014, 12:07:03 ös »
Denklemin her iki tarafına $4$ ekleyelim. $1+\dfrac{k}{x-k}=\dfrac{x}{x-k}$ olduğundan,

$\dfrac{x}{x-3}+\dfrac{x}{x-5}+\dfrac{x}{x-17}+\dfrac{x}{x-19}=x(x-11)$

Bizden istenen kök pozitif olduğuna göre $x$ leri sadeleştirebiliriz.

$\Longrightarrow \dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x-5}+\dfrac{1}{x-17}+\dfrac{1}{x-19}=x-11$

$\Longrightarrow \left(\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x-19}\right)+\left(\dfrac{1}{x-5}+\dfrac{1}{x-17}\right)=x-11$

$\Longrightarrow \dfrac{2(x-11)}{x^2-22x+57}+\dfrac{2(x-11)}{x^2-22x+85}=x-11$

$x=11$ bizim işimize yaramaz. $x-11$ leri de sadeleştirelim.

$\Longrightarrow \dfrac{1}{x^2-22x+57}+\dfrac{1}{x^2-22x+85}=\dfrac{1}{2}$

$x^2-22x+71=y$ dersek,

$\Longrightarrow \dfrac{1}{y-14}+\dfrac{1}{y+14}=\dfrac{1}{2}$

$\Longrightarrow \dfrac{2y}{y^2-196}=\dfrac{1}{2}$

$\Longrightarrow y^2-4y-196=0 \Longrightarrow (y-2)^2=200 \Longrightarrow y=2\pm10\sqrt2=2\pm\sqrt{200}$

$\Longrightarrow x^2-22x+71=2\pm\sqrt{200}$

$\Longrightarrow x^2-22x+121=52\pm\sqrt{200}\Longrightarrow (x-11)^2=52\pm\sqrt{200}$

$\Longrightarrow x=11\pm\sqrt{52\pm\sqrt{200}}$

Dolayısıyla aradığımız $a,b,c$ pozitif tamsayıları için $a=11, b=52, c=200$ olmalıdır. $\boxed{a+b+c=263}$ olduğunu görürüz.
« Son Düzenleme: Şubat 11, 2015, 12:39:00 öö Gönderen: Eray »
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal