Gönderen Konu: Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2014 Soru 3  (Okunma sayısı 1660 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1760
  • Karma: +8/-0
Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2014 Soru 3
« : Ekim 15, 2014, 12:33:52 öö »
$a, b, c$ pozitif reel sayıları $abc = 1$ koşulunu sağlıyorsa $$\left ( a+ \dfrac 1b \right )^2 + \left ( b+ \dfrac 1c \right )^2 + \left ( c+ \dfrac 1a \right )^2 \ge 3(a+b+c+1)$$ eşitsizliğini ispatlayınız.
Eşitlik durumunu bulunuz.
« Son Düzenleme: Ekim 16, 2014, 08:32:25 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı mehmetutku

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 241
  • Karma: +4/-0
Ynt: Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2014 Soru 3
« Yanıtla #1 : Ekim 17, 2014, 10:59:08 ös »
(Mehmet Utku Özbek)

Cauchy-Schwarz uygulayalım.

$ (1+1+1)[\left ( a+ \dfrac 1b \right )^2 + \left ( b+ \dfrac 1c \right )^2 + \left ( c+ \dfrac 1a \right )^2] \ge \left (a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2 $ $ \Longrightarrow \left ( a+ \dfrac 1b \right )^2 + \left ( b+ \dfrac 1c \right )^2 + \left ( c+ \dfrac 1a \right )^2 \ge \dfrac{\left (a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}{3}$

O zaman $\left (a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2 \ge 9(a+b+c+1)$     olduğunu ispatlarsak soru biter.

A.G.O dan $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a^3b^3c^3}}=3$      (Çünkü $abc=1$)

$(a+b+c+3)^2 \ge 9(a+b+c+1)$   olduğunu ispatlarsak soru biter.    $a+b+c=x$  olsun.

$(x+3)^2 \ge 9(x+1) \ \Longrightarrow x^2-3x=x(x-3) \ge 0$   olduğunu ispatlamalıyız. Bu da zaten A.G.O dan barizdir.

$a+b+c=x \ge 3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3$ , ispat biter. Eşitlik durumu A.G.O da eşitlik durumu yani $a=b=c=1$  olduğunda görülür.
« Son Düzenleme: Şubat 02, 2015, 01:47:34 ös Gönderen: scarface »
Geometri candır...

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal