Gönderen Konu: Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2014 Soru 1  (Okunma sayısı 1842 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1760
  • Karma: +8/-0
Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2014 Soru 1
« : Ekim 15, 2014, 12:30:00 öö »
$$3p^4 – 5q^4 – 4r^2 = 26$$ denklemini sağlayan birbirinden farklı $p$, $q$, $r$ asal sayılarını bulunuz.

Çevrimdışı mehmetutku

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 241
  • Karma: +4/-0
Ynt: Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2014 Soru 1
« Yanıtla #1 : Ekim 18, 2014, 11:22:14 ös »
(Mehmet Utku Özbek)

$\pmod 3$  te bakalım.

$\Longrightarrow q^4+2r^2 \equiv 2 \pmod 3$   ;   $q\neq3$   olsun.  $\Longrightarrow q^4 \equiv 1 \pmod 3 \ \ \ \ \Longrightarrow 2r^2 \equiv 1 \pmod 3 \ \ \ \ \Longrightarrow r^2 \equiv 2 \pmod 3 \ \ \ \ \text{çelişki} \ \ \ \ \Longrightarrow q=3$   tür.

$\Longrightarrow 3p^4-4r^2=431$   Bu ifadeye $\pmod5$    te bakalım.

$\Longrightarrow 3p^4-4r^2 \equiv r^2-2p^4 \equiv 1 \pmod 5$     ;   $p\neq5$  olsun.  O zaman Fermattan $p^4 \equiv 1 \pmod 5  \ \ \ \Longrightarrow r^2 \equiv 3 \pmod 5 \ \ \ \text{çelişki} \ \ \ \Longrightarrow p=5$  tir.   

$q=3$ ve $p=5$  i yerine yazarsak $r=19$ bulunur.  Tek çözüm $(5,3,19)$
Geometri candır...

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal