Gönderen Konu: cos 2pi/n rasyonel  (Okunma sayısı 1952 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1763
  • Karma: +8/-0
cos 2pi/n rasyonel
« : Ekim 11, 2014, 07:07:43 ös »
Hangi $n$ pozitif tam sayıları için $\cos \dfrac {2\pi} n$ rasyoneldir?


Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3012
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: cos 2pi/n rasyonel
« Yanıtla #1 : Haziran 25, 2020, 01:12:02 ös »
Niven Teoremine göre $k$ ve $\cos (k \pi)$ rasyonel ise $\cos (k \pi) \in \{ 0 \mp 1 , \mp \dfrac{1}{2}\}$ dir.

Şimdi $n$ için birkaç değer verelim:

$n=1$ için $\cos \dfrac {2\pi} n = \cos 2\pi = 1$
$n=2$ için $\cos \dfrac {2\pi} n = \cos \pi = -1$
$n=3$ için $\cos \dfrac {2\pi} n = \cos \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$
$n=4$ için $\cos \dfrac {2\pi} n = \cos \dfrac{\pi}{2} = 0$
$n=5$ için $\cos \dfrac {2\pi} n = \cos \dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$ fakat bu değer rasyonel değildir.
$n=6$ için $\cos \dfrac {2\pi} n = \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ olur.

$n>6$ için $ \dfrac{1}{2} < \cos \dfrac {2\pi} n < 1$ olup bu aralıkta $\{ 0 \mp 1 , \mp \dfrac{1}{2}\}$ sayılarından herhangi biri bulunmaz. Böylece aranan tüm değerler $n\in \{ 1,2,3,4, 6\}$ biçiminde bulunur.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal