Soru: $c_1,c_2,c_3$ çemberlerinin merkezleri sırasıyla $A,B,C$ olsun. ($A,B,C$ noktaları doğrusal değildir.) $c_2$ ile $c_3$ ün ortak iç teğetleri $D$ de; $c_3$ ile $c_1$ in ortak iç teğetleri $E$ de; $c_1$ ile $c_2$ nin ortak iç teğetleri $F$ de kesişsin. $AD, BE, CF$ doğrularının noktadaş olduğunu ispatlayınız.
Çözüm: Çemberlerin yarıçaplarını $r_1,r_3,r_3$ ile gösterelim ve çözümü aşağıdaki şekilden takip edelim.
$c_3$ ile $c_1$ in ortak iç teğetlerinden biri $HK$ olsun. $AHE\sim CKE$ (açı-açı-açı) benzerliğinden $\dfrac{|AE|}{|EC|}=\dfrac{r_1}{r_3}$ olur. Benzer düşünceyle $\dfrac{|CD|}{|DB|}=\dfrac{r_3}{r_2}$ ve $\dfrac{|BF|}{|FA|}=\dfrac{r_2}{r_1}$ yazılabilir. Bu üç eşitliği taraf tarafa çarparsak $\dfrac{|AE|}{|EC|}\cdot \dfrac{|CD|}{|DB|} \cdot \dfrac{|BF|}{|FA|} =\dfrac{r_1}{r_3} \cdot \dfrac{r_3}{r_2}\cdot \dfrac{r_2}{r_1}$ olup
$$\dfrac{|AE|}{|EC|}\cdot \dfrac{|CD|}{|DB|} \cdot \dfrac{|BF|}{|FA|}=1$$
elde edilir. Ceva teoreminin karşıtına göre $AD, BE, CF$ doğruları aynı noktadan geçer.
NOT: GSP programında ortak teğet çizme problemi biraz uğraştırabileceğinden, meraklıları için çizim dosyası da eklenmiştir.
