Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2009 Soru 13

[ERhan ERdoğan]

$11a-\dfrac{1}{a}=b-\dfrac{11}{b}$ ve $a+b<121$ koşullarını sağlayan kaç $(a,b)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 9
\qquad\textbf{b)}\ 10
\qquad\textbf{c)}\ 11
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ 13
$

[ygzgndgn]

Cevap: $\boxed{B}$

Eğer paydalar eşitlenir ve içler dışlar çarpımı yapılırsa $11a^2b-b=ab^2-11a$ denklemi elde edilir. İfadelerin hepsi tek bir tarafa toplanırsa $$(11a^2b-ab^2)+(11a-b)=ab(11a-b)+(11a-b)=(ab+1)(11a-b)=0$$ denklemi elde edilir. Eğer ilk çarpan $0$'a eşitlenirse $ab=-1$ bulunur, bu ise $a$ ve $b$'nin pozitif olma koşuluyla çelişkilidir. İkinci çarpan $0$'a eşitlenirse $b=11a$ bulunur. $a+b$ ifadesi $a=1,2,\dots,10$ değerleri için $121$'den küçüktür. $a=11$ içinse $b=121$ olur ve bu $a+b<121$ koşuluna uymaz, $a$'nın geri kalan değerleri için de bu böyledir. Böylelikle bu denklemi sağlayan $10$ tane $(a,b)$ pozitif tam sayı ikilisi bulunur.