Üçgen içerisinde P noktası, Model 4.3

[geo]

$ABC$ üçgeninin iç bölgesinde $\angle ABP = \angle PBC = 30^\circ - \angle PCB$ ve $\angle ACP = 30^\circ$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $\angle BAP = 2\angle BCP$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

$[BA$ üzerinde $\angle BDP = \angle BCP = t$ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım. $\angle PDC = 60^\circ$ dir.
$\triangle BPD \cong \triangle BPC$ olduğu için $PD=PC$ ve $\triangle CDP$ eşkenardır. $\angle PCA = \angle ACD = 30^\circ$ dir.
Aynı zamanda $AC \perp PD$ dir. Bu durumda $ADCP$ bir deltoiddir. $\angle ADP = \angle APD = t$ olduğu için $\angle BAP = 2t = 2\angle PCB$ dir.

Not:
Bu sorunun Ceva teoreminin trigonometrik yer değiştirme özelliğine göre modellenmiş hali burada Model 4.3 olarak verilmiş.

[geo]

$BP$ ile $AC$ doğruları $D$ de kesişsin. $\angle BDA = 60^\circ$ dir.
$\angle BDC$ nin açıortayı $BC$ yi $E$ de kessin. $\angle BDA = \angle BDE = \angle EDC = 60^\circ$ dir.
$ABED$ bir deltoiddir.
$PCD$ bir $30^\circ - 30^\circ - 120^\circ$ üçgeni olduğu için $DE \perp PC$ dolayısıyla $PDCE$ de bir deltoiddir.
Bu durumda $\angle EPC = \angle PCE = t$ ve $\angle PEB = 2t$ dir.
$ABED$ nin deltoidliğinden $\angle BAP = \angle BEP = 2t$ dir.

[geo]

$[BP$ üzerinde $\angle DCA = \angle ACB = 30^\circ + t$ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım.
$BD \cap AC = \{I\}$ ve $BA \cap CD =\{E\}$ olsun.
$EBC$ üçgeninde $I$ iç merkezdir. Bu durumda $\angle BEI = \angle IED = 30^\circ$ ve $\angle BIC = 120^\circ$ dir.
$\angle AED + \angle AID = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$ olduğu için $AEDI$ bir kirişler dörtgenidir. Bu durumda $\angle IAD = \angle IDA = \angle IEA = 30^\circ$ olur.
$\angle ADP = \angle ACP = 30^\circ$ olduğu için $ADCP$ dörtgeni de kirişler dörtgenidir. Bu durumda $\angle APD = \angle ACD = 30^\circ + t$ ve $\angle PAB = \angle APD - \angle ABP = 2t$ dir.

[geo]

Yardımcı Soru:

$ABC$ üçgeninin iç bölgesinde $\angle BAP = 30^\circ$, $\angle ABP = t$, $\angle PAC = \angle PBC = 30^\circ - t$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $\angle PCA = 2t$ olduğunu gösteriniz.

Çözüm:
İki soru da aynı Ceva Modelini oluşturuyor. $4.3 = (t, 30-t) : (30-t, 30) \to (x,y)$
O halde soruların cevapları aynıdır.

$C$ nin $AB$ ye göre simetriği $D$ olsun.
$\angle DBA = \angle ABC = 30^\circ$ ve $\angle ADC = \angle ACD = 30^\circ + t$ dir.
$BCD$ bir eşkenar üçgen olup $\angle DCB = 60^\circ$ dir.
$[BP$ üzerinde $BC = CE$ olacak şekilde bir $E$ noktası alındığında $\angle PEC = 30^\circ - t$ ve $\angle DCA = \angle ACE = 30^\circ + t $ dir.
Aynı zamanda $CD=CE$ olduğu için $\triangle ACD \cong ACE$ dir. Yani $\angle ADC = \angle AEC = 30^\circ + t$ ve $\angle AEP = 2t$ dir.
$\angle PAC = \angle PEC = 30^\circ - t$ olduğu için $PAEC$ bir kirişler dörtgenidir. Bu durumda $\angle ACP = \angle AEP = 2t$ olacaktır.

[geo]

$\angle BAP = \alpha$ ve $\angle BCP = t$ olsun.

Ceva Teoremnin Trigonometrik Halinden (sadeleştirildikten sonra)  $$\dfrac{\sin t}{\sin 30^\circ} \cdot \dfrac{\sin (90^\circ + t - \alpha)}{\sin \alpha} = 1$$ elde ederiz.
$\dfrac{\sin \alpha}{\sin (90^\circ + t - \alpha)} = \dfrac{\sin \alpha}{ \cos (\alpha - t)} = \dfrac{\sin t}{\sin 30} = \dfrac{\sin 2t}{\cos t} = \dfrac{ \sin 2t}{ \cos (2t - t)}$ $\Rightarrow \alpha = 2t$. $\blacksquare$