Üçgen içerisinde P noktası, Model 4.1

[geo]

$ABC$ üçgeninin iç bölgesinde $\angle PBA = 2\angle PCA $ ve $\angle BAP = \angle PAC = 30^\circ - \angle PCA$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $\angle BCP = 30^\circ$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

$a = 30^\circ-t$ dönüşümünden sonra Ceva Teoreminin Trigonometrik Halinin sonucu gereği açılarının yerlerini değiştirerek aşağıdaki soruyu elde ederiz.

http://geomania.org/forum/fantezi-geometri-arsivi/model-ucgen-ve-dortgen/msg243/#msg243



Not:
Bu sorunun Ceva teoreminin trigonometrik yer değiştirme özelliğine göre modellenmiş hali burada Model 4.1 olarak verilmiş.

[geo]

$\angle PBA = t$ ve $\angle BCP = \alpha$ olsun.

Sinüs Teoreminden $\dfrac{BP}{CP} = \dfrac{\sin \angle PCB}{\sin \angle CBP}$ ve $\dfrac{AP}{CP} = \dfrac{\sin \angle ACP}{\sin \angle CAP}$ olacaktır. (Ceva Teoreminin Trigonometrik Halinin kısmi ispatını yapmış olduk.)

$AP=BP$ olduğu için $\dfrac{\sin \alpha}{\sin (30^\circ - t)} = \dfrac{\sin (90^\circ + t - \alpha)}{\sin (60^\circ - 2t)}$ $\Rightarrow \dfrac{ \sin \alpha}{ \cos (\alpha-t)} = \dfrac{1}{2\cos (30^\circ - t)} = \dfrac{\sin 30^\circ}{\cos (30^\circ - t)}$ $\Rightarrow \alpha = 30^\circ$.