Üçgen içerisinde P noktası, Model 1.9

[geo]

$\triangle ABC$ nin iç bölgesinde $\angle ACP = 3\angle ABP $, $\angle CBP = 30^\circ$ ve $\angle BCP = 60^\circ - \angle ABP$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $\angle PAC = 2\angle BAP$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

$P = D$ olmak üzere;

http://geomania.org/forum/fantezi-geometri-arsivi/model-ucgen-ve-dortgen/msg1782/#msg1782



Not:
Bu sorunun Ceva teoreminin trigonometrik yer değiştirme özelliğine göre modellenmiş hali burada Model 1.9 olarak verilmiş.

[geo]

$CP \perp AB$  olduğu için $$\dfrac{\tan \angle ABP }{\tan CBP } = \dfrac{\tan \angle BAP }{\tan \angle CAP }.$$
$\angle ABP = t$ ve $\angle BAP = \alpha$ dersek
$\dfrac{\tan t}{\tan (30^\circ + t) } = \dfrac{\tan x}{\tan (90^\circ - 3t) } \Rightarrow \tan x = \dfrac{\tan t}{\tan (60^\circ - t) \tan 3t}$ elde ederiz.

$\tan 3t = \dfrac{3\tan t - \tan^3 t}{1-3\tan^2 t}$ (bkz. Wikipedia) olduğu için

$\begin{array}{lcl}
\tan x  &=& \dfrac{1-3\tan^2 t}{3 - \tan^2 t} \cdot \dfrac{\sqrt 3 - \tan t}{ 1 + \sqrt 3 \tan t}\\
&=& \dfrac{1-\sqrt 3 \tan t}{\sqrt 3 + \tan t} \\
&=& \dfrac{1}{\tan (60^\circ + t)} \\
&=& \tan (30^\circ - t).
\end{array}$

$x = 30^\circ - t$ ise $\angle PAC = 60^\circ - 2t$ olur.