Lise 2006-1/25 Benzeri

[geo]

$ABC$ üçgeninde $AC<AB$ ve $BC$ nin orta noktası $D$ dir. $[BA$ üzerinde $[AB]$ dışında $AC=AE=x$ olacak şekilde bir $E$ noktası alınıyor. $D$ den $EC$ ye çizilen paralel $AB$ yi $F$ de kesiyor. $FD$ ye $D$ de dik olan doğru $AB$ yi $G$ de kesiyor. $GF=x$ olduğunu gösteriniz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$C$ köşesinden $AB$ ye paralel çizelim. Bu paralel ile $FD$ ye $D$ de dik olan doğru $H$ noktasında kesişsin. $CD=DB$ olduğu için papyon benzerliğinden $HD=DG$ dir. $FD\perp HG$ olduğundan $FHG$ üçgeni ikizkenar bir üçgendir. Yani $FH=FG$ dir. Bu yüzden $FH=x$ olduğunu göstermeliyiz. $\angle CEA=\angle  ECA= a$ olsun. O zaman $\angle CAG=2a$ dır. $EC//FD$ olduğu için $\angle DFG=a$ olur. $FD$ aynı zamanda $\angle HFG$ nin açıortayı olduğu için $\angle HFD=a$ olur. Yani $\angle HFG=2a$ olur. O zaman $CA//HF$ dir ve $CH//AF$ olduğu için $ACHF$ bir paralelkenardır. $AC=x $ ise $HF=x$ tir. İspat biter.

[geo]

$EC$ nin orta noktası $M$ olsun. $AM \perp MC$ ve $FMCD$ bir paralelkenar. Bu durumda $MC=FD$ ve $\angle DFB = \angle AEC = \angle MCA$ olduğu için $\triangle MAC \cong \triangle DGF$ dir. Yani $AC=GF=x$.