Öncelikle $n$ tek sayı ise $(2n)^{2n}-n^n$ tek sayı olduğu için asal sayılarımızdan biri $2$ olmalıdır. Bu da küçük olan $n^n+1=2$ olması gerektiğini gösterir ve $n=1$ elde edilir.
Varsayalım ki $n$ $2$ nin tam kuvveti olmasın. Bu durumda $n=2^r.s$ olacak şekilde $r\geq 1$ olacak şekilde $r$ tam sayısı ve $s\geq 3$ tek tam sayısı bulunabileceğini görürüz.
$$n^n+1=(2^r.s)^{2^r.s}+1=((2^r.s)^{2^r})^s+1$$ olur bu da bize $(n^{2^r}+1)$ şeklinde bir çarpanı olduğunu gösterir. Bu da çelişkiye yol açar.
O halde $n=2^r$ formatında olmalıdır. Buradan $n^n+1=2^{r.2^r}+1$ ve $(2n)^{2n}+1=2^{(r+1)2^{r+1}}+1$ verir. Bu durumda $r$ ve ya $r+1$ den en az biri tek olduğu için
a) $r$ tek sayı alırsak $r\geq 3$ için $n^n+1$ in $2^{2^r}+1$ şeklinde daha küçük bir çarpanı olmuş olur. Dolayısıyla $r=1$ hariç asal sayı oluşamaz. Buradan $n=2$ elde edilir. Bu da bize $n^n+1=5$ ve $(2n)^{2n}+1=257$ sonucunu verir.
b) $r+1$ tek sayı olarak alırsak $r\geq 2$ için ($r=0$ zaten tek sayı durumunda incelenenen $n=1$ i verdiğinden) $(2n)^{2n}+1$ ifadesinin $2^{2^{r+1}}+1$ formatında kendisinden daha küçük bir çarpanı olduğunu buluruz. Dolayısıyla asal sayı olamaz.
Buradan tüm olası $n$ değerleri $n=1$ ve $n=2$ olarak bulunur.
