Bileşik tam sayı

[mehmetutku]

$a,b,c,d$ pozitif tam sayıları için $ad=b^2+bc+c^2$  ise , $ a^2+b^2+c^2+d^2$  nin bir bileşik tam sayı olduğunu gösteriniz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Onat Vuran'a katkılarından dolayı teşekkürler..

$2ad=2b^2+2bc+2c^2$  dır. Şimdi istenen ifadeye $2ad$   ekleyip çıkaralım.

$\Longrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2ad-2ad=(a+d)^2+b^2+c^2-2ad=(a+d)^2+b^2+c^2-(2b^2+2bc+2c^2)=(a+d)^2-(b+c)^2=(a+d-b-c)(a+d+b+c)$

$(a+b+c+d)$   nin $1$  den büyük olduğunu biliyoruz. Yani $(a+d-b-c)$  nin $1$  den büyük olduğunu ispatlamalıyız.  $(a+d-b-c) \le 0$ olamayacağı bariz. O zaman $(a+d-b-c)=1$  olamayacağını ispatlamalıyız.

$(a+d-b-c)=1$   olsun. $a+d=b+c+1$  dir.  A.G.O yapalım.

$(a+d)^2 \ge 4ad= 4b^2+4bc+4c^2$  dir.  $a+d=b+c+1$  yazalım.

$(b+c+1)^2 \ge 4b^2+4bc+4c^2$   İfadeyi açarsak şuna ulaşırız.

$1 \ge 3b^2+2bc+3c^2-2b-2c$    Her iki tarafa da $2$  ekleyelim.

$3 \ge (b+c)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+b^2+c^2$           

$b\ge 1$    ve   $c\ge 1$  olduğu göz önünde bulundurulursa   $min[(b+c)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+b^2+c^2]=6$  bulunur.   ÇELİŞKİ.  İspat biter.