(Mehmet Utku Özbek)
$x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)\equiv 0 \pmod{3\cdot25}$
$\pmod3$ ve $\pmod{25}$ te inceleyelim.
$(x-1)^2(x+2)\equiv 0 \pmod{3}$ in tek çözümü $x \equiv 1 \pmod{3}$ tür.
$(x-1)^2(x+2)\equiv 0 \pmod{25}$ çözümleri ise ya $(x-1)$ de $5$ çarpanı ya da $(x+2)$ de $25$ çarpanı olması gerektiği için $x \equiv 1, 6, 11, 16, 21, 23 \pmod{25}$ tir.
O zaman Çin Kalan teoreminden bu şartları sağlayan $1 \cdot 6=6$ sayı vardır deriz. Bu sayıları bulalım:
$1) 25k+1 \equiv 1 \pmod3 \Rightarrow k\equiv 0\pmod3 \Rightarrow x=75m+1 , x\lt 75 \Rightarrow x=1$
$2) 25k+6 \equiv 1\pmod3 \Rightarrow k\equiv 1\pmod3 \Rightarrow x=75m+31 \Rightarrow x=31$
$3) 25k+11 \equiv 1\pmod3 \Rightarrow k\equiv 2\pmod3 \Rightarrow x=75m+61 \Rightarrow x=61$
$4) 25k+16 \equiv 1\pmod3 \Rightarrow k\equiv 0\pmod3 \Rightarrow x=75m+16 \Rightarrow x=16$
$5) 25k+21 \equiv 1\pmod3 \Rightarrow k\equiv 1\pmod3 \Rightarrow x=75m+46 \Rightarrow x=46$
$6) 25k+23 \equiv 1\pmod3 \Rightarrow k\equiv 2\pmod3 \Rightarrow x=75m+73 \Rightarrow x=73$
Tüm çözümler $x=1 , 16 , 31 , 46 , 61 , 73$ tür.
