Genelleştirilmiş A.G.O Eşitsizliği:
$\dfrac{a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n}{k}\ge\sqrt[k]{x_1^{a_1}x_2^{a_2}\cdots x_n^{a_n}}$
Simetrik Ortalamalar Eşitsizliği:
$S_k$ sayısı, $a_1, a_2, \cdots a_n$ sayılarının muhtemel tüm $k$'lı çarpımlarının aritmetik ortalaması olmak üzere, şu eşitsizlik doğrudur:
$A.O=S_1\ge \sqrt{S_2}\ge \sqrt[3]{S_3}\ge\cdots\ge\sqrt[n]{S_n}=G.O$'dur.
Örneğin, $a,b,c,d$ sayıları için eşitsizlik şu hali alır:
$\dfrac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt{\dfrac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}}\ge\sqrt[3]{\dfrac{abc+abd+acd+bcd}{4}}\ge\sqrt[4]{abcd}$
Şimdi soruya dönelim.
$a+b+c=1$ olduğundan, eşitsizlik $\dfrac{1}{3}\ge\sqrt{a^{b+c}\cdot b^{a+c}\cdot c^{a+b}}$'dir.
Öte yandan, Genelleştirilmiş A.G.O Eşitsizliği gereği şu eşitsizlik doğrudur:
$\dfrac{(b+c)a+(a+c)b+(a+b)c}{2a+2b+2c}\ge\sqrt[2a+2b+2c]{a^{b+c}\cdot b^{a+c}\cdot c^{a+b}}$
$\Longrightarrow ab+bc+ac\ge\sqrt{a^{b+c}\cdot b^{a+c}\cdot c^{a+b}}$
O halde $\dfrac{1}{3}\ge ab+bc+ac$ eşitsizliğini ispatlamalıyız.
Simetrik Ortalamalar Eşitsizliği gereği şu eşitsizlik doğrudur:
$\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt{\dfrac{ab+bc+ac}{3}} \Longrightarrow \dfrac{1}{9}\ge\dfrac{ab+bc+ac}{3}\Longrightarrow\dfrac{1}{3}\ge ab+bc+ac$ olduğundan ispat biter.
