Eşitsizlik-10

[mehmetutku]

$a,b,c$  pozitif gerçel sayılar olmak üzere;

$\sqrt{a^2-ab\sqrt{2}+b^2}+\sqrt{b^2-bc\sqrt{2}+c^2} \ge \sqrt{a^2+c^2}$    olduğunu ispatlayınız.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Geometrik çözüm yapalım.
İyi bakıldığı zaman köklü ifadelerin aslında birer Kosinüs teoremi olduğunu görebiliriz. Mesela ilk köklü ifadeyi bir $ABC$ üçgeninde yazalım. $|AB|=a$ , $|AC|=b$ ve $\angle BAC=45^\circ$ olsun. O zaman $|BC|=\sqrt{a^2+b^2-ab\sqrt{2}}$ olur. Şimdi aynı şekilde bir $ACD$ üçgeni tanımlayalım. ($|AC|$  ,  $|AB|$ ile $|AD|$ arasında kalsın.)  $|AD|=c$ ve $\angle CAD=45^\circ$ olsun.  Yine aynı şekilde $|CD|=\sqrt{b^2+c^2-bc\sqrt{2}}$ olur. Ve son olarak $\angle BAD=90^\circ$ olacağı için $|BD|=\sqrt{a^2+c^2}$  olur. Şimdi $BDC$ üçgenine bakalım. Üçgen eşitsizliğine de dayanarak $\sqrt{a^2-ab\sqrt{2}+b^2}+\sqrt{b^2-bc\sqrt{2}+c^2} \ge \sqrt{a^2+c^2}$ doğrudur deriz.