Eşitsizlik-8

[mehmetutku]

$a,b,c$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere;

  $\dfrac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\dfrac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\dfrac{a^2+c^2}{b^2+ac} \ge 3$      olduğunu ispatlayınız.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$A.G.O$ dan $\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab$  dir. Benzer şekilde $\dfrac{b^2+c^2}{2}\ge bc$   ve  $\dfrac{a^2+c^2}{2}\ge ac$  dir.  Bunları eşitsizlikte yerine yazalım.

$\Longrightarrow \dfrac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\dfrac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\dfrac{a^2+c^2}{b^2+ac} \ge \dfrac{a^2+b^2}{c^2+\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\dfrac{b^2+c^2}{a^2+\dfrac{b^2+c^2}{2}}+\dfrac{a^2+c^2}{b^2+\dfrac{a^2+c^2}{2}}=\dfrac{2a^2+2b^2}{2c^2+a^2+b^2}+\dfrac{2b^2+2c^2}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2a^2+2c^2}{2b^2+a^2+c^2}$

Burada $a^2+b^2=x , b^2+c^2=y  ,  a^2+c^2=z$   dönüşümü yapalım. O zaman son ifade şuna dönüşür:

$\Longrightarrow \dfrac{2x}{y+z}+\dfrac{2y}{x+z}+\dfrac{2z}{x+y} \ge 3$    olduğunu ispatlamalıyız. Şimdi her iki tarafa da $\dfrac{x+y}{x+y}+\dfrac{y+z}{y+z}+\dfrac{x+z}{x+z}=3$   ekleyelim:

$\Longrightarrow \dfrac{x+y+x+z}{y+z}+\dfrac{y+x+y+z}{x+z}+\dfrac{z+x+z+y}{x+y} \ge 6$ olduğunu ispatlamalıyız. Gruplama yapalım:

$\Longrightarrow (\dfrac{x+y}{y+z}+\dfrac{y+z}{x+y})+(\dfrac{x+z}{x+y}+\dfrac{x+y}{x+z})+(\dfrac{y+z}{x+z}+\dfrac{x+z}{y+z}) \ge 6$  olduğunu ispatlamalıydık. Bu da zaten $A.G.O$ dan görülüyor:

$\Longrightarrow \dfrac{x+y}{y+z}+\dfrac{y+z}{x+y} \ge 2$  dir.  Benzer şekilde $\dfrac{x+z}{x+y}+\dfrac{x+y}{x+z} \ge 2$  ve  $\dfrac{y+z}{x+z}+\dfrac{x+z}{y+z} \ge 2$   dir.   İspat biter.

[Lokman Gökçe]

Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden

$$c^2+ab = c\cdot c + a\cdot b \leq \sqrt{(c^2+a^2)(c^2+b^2)}$$

$$a^2+bc = a\cdot a + b\cdot c \leq \sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}$$

$$b^2+ac = b\cdot b + a\cdot c \leq \sqrt{(b^2+a^2)(b^2+c^2)}$$

yazılabilir. $b^2+c^2=x^2$, $c^2+a^2=y^2$, $a^2+b^2=z^2$ olsun. Verilen eşitsizliğin sol tarafına $T$ dersek,

$T \geq \dfrac{x^2}{yz}+\dfrac{y^2}{zx}+\dfrac{z^2}{xy}$ olur. Biz

$$\dfrac{x^2}{yz}+\dfrac{y^2}{zx}+\dfrac{z^2}{xy} \geq 3$$

olduğunu ispat etmeliyiz. Payda eşitlenirse bu eşitsizlik $x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz$ haline dönüşür. Bu ise iyi bilinen aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği olup, doğrudur.

Ana eşitsizliğimizde, eşitlik durumu $a=b=c$ iken sağlanır.