Açıortay

[geo]

$ABC$ üçgeninde $AB=AC$ dir. $BC$ doğrusu üzerinde bir $P$ noktası alınıyor. $AP$ üzerinde $PC=PC_1$ olacak şekilde bir $C_1$ noktası alınıyor. $B$ den geçen ve $AP$ ye $C_1$ noktasında teğet olan çember $BC$ yi ikinci kez $Q$ noktasında kesiyor. $Q$ dan geçen be $AB$ ye paralel olan doğru $AC$ yi $R$ de kesiyor. $BC$ nin $AP$ ile $PR$ doğrularının açıortayı olduğunu gösteriniz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Kuvvetten $PC_1^2=PC^2=PQ.PB$ dir. Taraf tarafa atalım:
 
$$\Longrightarrow  \dfrac{PC}{PB}=\dfrac{PQ}{PC} \tag{1}$$

Şimdi $PC^2=PQ.PB$  yi düzenleyelim.

$\Longrightarrow PC^2=PQ.PB=(PC-CQ)(PC+CB)=PC^2+PC.CB-CQ.PC-CQ.CB$

$\Longrightarrow PC.CB=CQ.PC+CQ.CB=CQ(PC+CB)=CQ.PB$          Taraf tarafa atalım:

$$\Longrightarrow \dfrac{PC}{PB}=\dfrac{CQ}{CB} \tag{2}$$

$(1)$ ve $(2)$ yi birleştirirsek şuna ulaşırız:
$$\Longrightarrow  \dfrac{PQ}{PC}=\dfrac{CQ}{CB} \tag{3}$$

$AB//QR$ idi.  O zaman:
$$\Longrightarrow \dfrac{CQ}{CB}=\dfrac{CR}{CA} \tag{4}$$
$(3)$ ile $(4)$ ü birleştirelim:
$$\Longrightarrow \dfrac{PQ}{PC}=\dfrac{CR}{CA} \tag{5}$$
$AB=AC$ olduğu için paralellikten $CR=RQ$ dur. Bunu $(5)$ te yerine yazalım:
$$\Longrightarrow \dfrac{PQ}{PC}=\dfrac{RQ}{CA} \tag{6}$$
$(6)$ dan $ACP$ üçgeni ile $RQP$ üçgeninin benzer olduğunu görürüz.

$\angle ACP=a$ dersek $\angle PQR=a$ olur.

O zaman $\angle APC=\angle CPR$  dir. İspat biter.
                                                                                                                                                                   

[geo]

Yukarıdaki çözümün hemen hemen aynısını biraz daha seri şekilde yapalım:

Paralellikten dolayı $\triangle BAC \sim \triangle CRQ$ dir.

Kuvvetten $PB \cdot PQ = PC^2 \Rightarrow \dfrac{PB}{PC} = \dfrac{PC}{PQ}$ olur.

$P$ noktasının $\triangle BAC$ ye göre durumu ile $P$ noktasının $\triangle CRQ$ ya göre durumu benzerdir. O halde, $\angle APB = \angle RPC$, yani $AP$ ile $PR$ doğrularının açıortaylarından biri $BC$ dir.