Gönderen Konu: $p!+p$  (Okunma sayısı 3013 defa)

Çevrimdışı mehmetutku

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 241
  • Karma: +5/-0
$p!+p$
« : Haziran 27, 2014, 08:06:41 ös »
$p!+p$ ifadesini tam kare yapan tüm $p$ asal sayılarını bulunuz.
« Son Düzenleme: Haziran 27, 2014, 10:43:19 ös Gönderen: ERhan ERdoğan »
Geometri candır...

Çevrimdışı Simurg

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 6
  • Karma: +0/-0
Ynt: $p!+p$
« Yanıtla #1 : Temmuz 21, 2014, 03:01:16 ös »
p.(p-1)!+p=p[(p-1)!+1] ifadesinin tam kare olabilmesi için parantez içindeki ifadenin p asal sayısına eşit olması gerekir.
(P-1)!+1=p
(p-1)!=p-1.  Bu eşitliğin sağlanabilmesi için de p-1=1 veya p-1=2 olması gerekir.
 p=2 ve p=3 olur.
 Başka değer yok sanırım.

Çevrimdışı mehmetutku

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 241
  • Karma: +5/-0
Ynt: $p!+p$
« Yanıtla #2 : Temmuz 21, 2014, 03:20:51 ös »
Parantez içindeki ifade $px^2$ formunda da olabilir.
Geometri candır...

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 355
  • Karma: +8/-0
Ynt: $p!+p$
« Yanıtla #3 : Şubat 11, 2015, 12:11:37 öö »
Kare Kalan ve Legendre Sembolü kullanarak yaptığım çözüm:

$p=2$ ve $p=3$ ün istenen şartı sağladığı kolayca görülebilir. $p\geq5$ kabul edelim.

$p! + p = a^2$ eşitliğini $p$ den küçük herhangi bir $n$ sayısı modunda inceleyelim. $p!$ sayısı $p$ den küçük tüm sayılara bölündüğünden, $p \equiv a^2 \pmod n$ bulunur. $a^2$ sayısı tamkare olduğundan, $p$ sayısı kendinden küçük tüm modlarda kare kalandır.

$p$ ve $p$ den küçük herhangi bir $q$ tek asal sayısı için Kuadratik Karşılıklılık Yasası gereği,

$\left(\dfrac{p}{q}\right)\left(\dfrac{q}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p-1}{2}\cdot\dfrac{q-1}{2}}$ dir. Burada kesirli parantezler Legendre Sembolü nü ifade etmektedir.

Öte yandan, $p$ nin $4$ modunda kare kalan olduğunu biliyoruz. Yani $p=4k+1$ formundadır. Dolayısıyla $(-1)^{\dfrac{p-1}{2}\cdot\dfrac{q-1}{2}} = (-1)^{\dfrac{4k}{2}\cdot\dfrac{q-1}{2}} = \left((-1)^\dfrac{q-1}{2}\right)^{2k}=1$ dir. Ayrıca $\left(\dfrac{p}{q}\right)=1$ olduğunu da biliyoruz. Bunlar Kuadratik Karşılıklılık Yasası nda yerine yazılırsa $\left(\dfrac{q}{p}\right)=1$ olduğu görülür. Yani $q$ sayısı, $p$ modunda kare kalandır.

Yani, $p$ den küçük tüm tek asal sayılar $p$ modunda kare kalandır.

Yani, $p$ den küçük tüm tek sayılar $p$ modunda kare kalandır. Çünkü iki sayı kare kalansa, bunların çarpımları da kare kalandır.

$p$ den küçük tek sayıların sayısı $\dfrac{p-1}{2}$ dir. Öte yandan, $p$ modunda tam olarak $\dfrac{p-1}{2}$ kare kalan bulunduğunu biliyoruz. Bu, başka kare kalan olmaması gerektiği anlamına gelir. Ancak $4$ sayısı tamkare olduğu için, her zaman $p$ modunda kare kalandır. Çelişki.

Dolayısıyla istenen şartı sağlayan $p$ asalları yalnızca $2$ ve $3$ tür.
« Son Düzenleme: Şubat 14, 2015, 03:35:20 ös Gönderen: Eray »
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal