Paralellik

[mehmetutku]

$ABC$ üçgeninde $[BC]$ nin orta noktası $D$ olsun. $M$ ,  $[BC]$ üzerinde  $\angle BAM = \angle DAC$  şartını sağlayan bir noktadır.  $CAM$ üçgeninin çevrel çemberinin $AB$ yi ikinci kez kestiği nokta $L$ dir.  $BAM$ üçgeninin çevrel çemberinin $AC$ yi ikinci kez kestiği nokta $K$ dır.  $KL // BC$  olduğunu ispatlayınız.

[ERhan ERdoğan]

$B$ ve $C$ noktalarının sırasıyla $(ALMC)$ ve $(AKMB)$ çemberlerine göre kuvvetlerini yazalım, $$BL.AB=BM.BC \tag{1} $$ $$CK.AC=CM.BC \tag{2} $$ denklemlerinden $$\dfrac{BL}{CK} \cdot \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BM}{CM} \tag{3}$$ olur. Ayrıca $AM$ simedyan olduğundan $$\dfrac{BM}{CM}=\dfrac{AB^2}{AC^2} \tag{4}$$ ilişkisi vardır. $(4)$ ü, $(3)$ de kullanarak $\dfrac{BL}{CK}=\dfrac{AB}{AC} $ sonucuna varabiliriz. Bu sonuç $KL \parallel BC$ olduğunu gösterir.