Gönderen Konu: Bileşik sayı  (Okunma sayısı 2036 defa)

Çevrimdışı mehmetutku

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 241
  • Karma: +4/-0
Bileşik sayı
« : Haziran 22, 2014, 09:32:59 ös »
Bir pozitif tam sayı iki farklı şekilde iki tam kare toplamı şeklinde yazılabiliyorsa bu tam sayının bileşik sayı olduğunu ispatlayınız.
Geometri candır...

Çevrimdışı Alimmm78

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 52
  • Karma: +3/-0
Ynt: Bileşik sayı
« Yanıtla #1 : Ağustos 07, 2014, 11:21:28 ös »
Çözümü bulduysanız paylaşabilir misiniz?

Çevrimdışı mehmetutku

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 241
  • Karma: +4/-0
Ynt: Bileşik sayı
« Yanıtla #2 : Eylül 04, 2014, 10:43:08 ös »
(Mehmet Utku Özbek)

 $p$ asal   ve  $p=a^2+b^2=c^2+d^2$  olsun. 

$a^2d^2-b^2c^2=a^2d^2+b^2d^2-b^2d^2-b^2c^2=d^2(a^2+b^2)-b^2(c^2+d^2)=(d^2-b^2)\cdot p \ \ \   \Longrightarrow   (ad+bc)(ad-bc)=(d^2-b^2)\cdot p \ \ \ \Longrightarrow p \ | \ ad+bc $  veya  $p\ | \ ad-bc$

Şimdi  $p^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ad+bc)^2+(ac-bd)^2$  yazabiliriz. Eğer  $p\ | \ ad+bc$   ise  $p \ | \ ac-bd$  dir.   Yani  $p \ | \ ac-bd$   veya  $p\ | \ ad-bc$  dir. 

$p \ | \ ac-bd$  alalım. ($p\ | \ ad-bc$  de alabiliriz fark etmez)   $p=a^2+b^2=c^2+d^2$  olduğu için  $\sqrt{p} \gt a \ , \ b \ , \ c \ , \ d$   diyebiliriz.  O zaman $p \gt ac$   olur. Yani  $ac-bd=0$  olması gerekiyor.

$\Longrightarrow  ac=bd \ \ , \ \ p$ asal olduğu için $(a,b)=1$  dir.  Aynı şekilde $(c,d)=1$  dir.   $a \ | \ d$  olsun. ($d \ | \ a$  da olabilirdi fark etmez.)

$\Longrightarrow d=a\cdot k \ \ , \ \ c=b\cdot k$

$\Longrightarrow p= a^2+b^2=c^2+d^2=b^2k^2+a^2k^2=(a^2+b^2)k^2  \Longrightarrow  \ k=1  \ \ \Longrightarrow a=d \ \ , \ \ b=c$   ÇELİŞKİ.

O zaman $p$ bileşik sayıdır. İspat biter.
   
Geometri candır...

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal