En büyük değer

[mehmetutku]

$0 \lt x , y \lt 1$    ise    $\dfrac{xy(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}$   ifadesinin en büyük değerini bulunuz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$1-x-y=z$  olsun. O zaman ifade şuna dönüşür: 
$\Longrightarrow  \dfrac{xyz}{(1-x)(1-y)(1-z)}$

Şimdi iki durum var.  $z$    negatif veya pozitif  olabilir. Eğer $z$ negatifse ifadedeki üst kısım negatif ,  alt kısım pozitif olacağından sonuç  negatif olur. Ama biz en büyük değeri arıyoruz. O zaman $z$  pozitif olmalıdır.

Şimdi $1-x=y+z$    yazalım. Diğer iki parantezi de böyle yazalım:

$\Longrightarrow  \dfrac{xyz}{(y+z)(x+z)(x+y)}$                                                          A.G.O dan    $x+y \ge 2\sqrt{xy}$  olacağı için şunu yazabiliriz:

$\Longrightarrow  \dfrac{xyz}{(y+z)(x+z)(x+y)} \le  \dfrac{xyz}{(2\sqrt{yz})(2\sqrt{xz})(2\sqrt{xy})}=\dfrac{1}{8}$            O zaman ifadenin alabileceği en büyük değer $\dfrac{1}{8}$  dir.

[Legendary]

A.G.O eşitsizliğinden 1/4 ≥ ab/(a+b)² olduğunu biliyoruz. Ve soruda verilen ifadenin maximum olması için (1-x-y)≥0 olmalıdır. Dolayısıyla yukarıdaki eşitsizlikte a=x ve b=(1-x-y) alırsak;

1/4 ≥ x(1-x-y)/(1-y)² olur. Aynı eşitsizliği a=y ve b=(1-x-y) için de yazıp taraf tarafa çarparsak;

1/16 ≥ xy(1-x-y)²/(1-x)²(1-y)² ifadenin kökünü alıp ifadeyi (x+y)'ye bölersek;

1/4(x+y) ≥(1-x-y)x^1/2y^1/2/(1-x)(1-y)(x+y) her iki tarafı x^1/2y^1/2 ile çarparsak;

1/8 ≥ x^1/2y^1/2/4(x+y) olduğu için ifadenin maximum değeri 1/8'dir.Eşitlik durumu ise x=y=1/3 iken sağlanır.

[CİHAT]

A.G.O eşitsizliğinden 1/4 ≥ ab/(a+b)2 olduğunu biliyoruz. Ve soruda verilen ifadenin maximum olması için (1-x-y)≥0 olmalıdır. Dolayısıyla yukarıdaki eşitsizlikte a=x ve b=(1-x-y) alırsak;

1/4 ≥ x(1-x-y)/(1-y)2 olur. Aynı eşitsizliği a=y ve b=(1-x-y) için de yazıp taraf tarafa çarparsak;

1/16 ≥ xy(1-x-y)2/(1-x)2(1-y)2 ifadenin kökünü alıp ifadeyi (x+y)'ye bölersek;

1/4(x+y) ≥(1-x-y)x1/2y1/2/(1-x)(1-y)(x+y) her iki tarafı x1/2y1/2 ile çarparsak;

1/8 ≥ x1/2y1/2/4(x+y) olduğu için ifadenin maximum değeri 1/8'dir.Eşitlik durumu ise x=y=1/3 iken sağlanır.