teğet çemberler

[ERhan ERdoğan]

Yarıçapları $3$ ve $5$ birim olan iki çember dıştan teğettir.Bir doğru bu çemberlere $M$ ve $N$ noktalarında teğettir.
Çemberlere $A$ ve $B$ noktalarında teğet olan üçüncü bir çember çizilmiştir. $AB$ ve $MN$ doğruları $C$ noktasında kesişiyorlar. $C$ noktasından üçüncü çembere $D$ noktasında teğet olan doğru çizilmiştir. $[CD]$'nin uzunluğunu bulunuz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yarıçapı $3$ olan çember $w$ çemberi; yarıçapı $5$ olan çember $s$ çemberi; üçüncü çember de $l$ çemberi olsun. $w$ ve $s$ çemberlerinin birbirine teğet oldukları nokta $E$ olsun. Bu iki çembere $E$ de teğet olan doğru $MN$ yi $F$ de kessin. Teğetlikten $[MF]=[FE]$ ve $[FN]=[FE]$ dir. Muhteşem üçlü olduğundan $MEN$ bir dik üçgendir. Şimdi $\angle MNE=a$ olsun. $[NE]$ yi $E$ yönünde uzatalım. $w$ çemberini ikinci defa kestiği nokta $K$ olsun. $w$ nin merkezi $O_w$ olsun. $[O_w M]\perp[MN]$ dir. $\angle NEM=90-a$ ve $\angle EMO_w=a$ olur. $MEK$ üçgenine bakarsak $\angle MKE=90-a$ bulunur. Sonra $MKN$ üçgenine bakarsak açılar birbirini $180^\circ$ e tamamladığından, $O_w$ nin $[MK]$ nın üzerinde olduğunu anlarız. Şimdi $w$ ve $l$ çemberinine $A$ da teğet olan doğruyu çizelim. $O_w$ bu teğete dik olduğundan $K$ noktası aslında $A$ noktasıdır. Şimdi $\angle O_w EA=90-a$ ve ters açılardan $\angle NEO_s=90-a$ olur. O zaman $AEO_w$ ile $NEO_s$ üçgenleri benzerdir. Dolayısıyla $[AE]=3x$ ise $[EN]=5x$ tir.
Şimdi $[MO_w]$ yi $[NO_s]$ üzerine yansıtalım. Yani bir dikdörtgen oluşsun. Bu dikdörtgenin son köşesi $G$ olsun. (Yani $MO_wGN$ dikdörtgeni) $[NG]=3$ ve $[GO_s]=2$ olur. $O_wGO_s$ üçgeninde pisagor yapılırsa $[O_wG]=[MN]=2\sqrt{15}$ bulunur. Şimdi $N$ noktasından $w$ çemberine kuvvet uygulayalım. $5x.8x=60$ ve $x=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ bulunur. Şimdi $[CB]$ yi $B$ yönünde uzatalım ve $s$ çemberini ikinci defa kestiği yere $H$ diyelim. Yine aynı şekilde $M,E,H$ doğrusaldır. Ve yine benzerlik var. $[ME]=3y$ ise $[EH]=5y$ olur. $M$ noktasından $s$ çemberine kuvvet uygulayalım. $3y.8y=60$ ve $y=\sqrt{\dfrac{5}{2}}$ bulunur. Şimdi $AEH$ dik üçgen olduğundan pisagor yapıp $[AH]$ yi bulalım. $[AH]=\sqrt{(3\sqrt{\dfrac{3}{2}})^2+(5\sqrt{\dfrac{5}{2}})^2}=2\sqrt{19}$ bulunur. $[AB]=z$ olsun. Şimdi $A$ noktasından $s$ çemberine kuvvet uygulayalım. $3\sqrt{\dfrac{3}{2}}.8\sqrt{\dfrac{3}{2}}=z.2\sqrt{19}$    Buradan $z=\dfrac{18}{\sqrt{19}}$ bulunur.
$[CA]$ nın $w$ çemberini ilk kez kestiği nokta $J$ olsun. $[MJ]=t$ ve $[JA]=p$ olsun. $\angle MJA$,  $w$ çemberinin çapını gördüğünden $90^\circ$ dir. Hem $MJA$ hem de $MJH$ üçgeninde pisagor yapalım.

$\Longrightarrow t^2+p^2=6^2=36$
$\Longrightarrow t^2+(p+2\sqrt{19})^2=[MH]^2=160$

Bu iki eşitliği taraf tarafa çıkarırsak $4p\sqrt{19}=48$ ve $p=\dfrac{12}{\sqrt{19}}$ bulunur. Şimdi $CMA$ üçgeninde Öklid uygulayalım. $\dfrac{12}{\sqrt{19}}.[AC]=36$  Buradan $[AC]=3\sqrt{19}$ bulunur. Artık $C$ noktasından $l$ çemberine kuvvet uygulayabiliriz.
$\Longrightarrow [CD]^2=3\sqrt{19}.(3\sqrt{19}+\dfrac{18}{\sqrt{19}})=225$
Buradan $[CD]=15$ bulunur.

[ERhan ERdoğan]

$\measuredangle$ ile yay ölçülerini gösterelim.

Yukarıdaki çözümde kullanılan harflendirmeler ile, $\measuredangle{BE}+\measuredangle {EA}+\measuredangle {AB}=180^\circ$ ve $\measuredangle {NE}+\measuredangle {ME}=180^\circ$ dir. Ayrıca $\measuredangle{HB}=\measuredangle{BA}=\measuredangle {AJ}$ olduğundan, $\measuredangle {NH}=\measuredangle {MA}$ ve $\measuredangle {NB}=\measuredangle{MJ}$ eşitlikleri vardır.
Bu eşitliklere göre, $NH \parallel MA$ ve $NB \parallel MJ$ dir.

Bu sonuç $NHB$ ve $MAJ$ benzer üçgenleri arasında $C$ merkezli $3:5$ oranında homoteti olduğunu göstermektedir. O halde $CM:CN = CJ:CB = CA:CH = 3:5$  dir. $$CM^2 = CJ \cdot CA $$ $$CD^2 = CA \cdot CB $$ ve $2CM = 3MN$ olduğundan, bu son üç denklemden, $$CD^2 =\dfrac{15}{4} MN^2$$ bulunur.
$MN$ dıştan teğet çemberlerin ortak dış teğet uzunluğu olduğundan $r_{1}$ ve $r_{2}$ yarıçapları göstermek üzere, $MN^2 = 4r_{1}r_{2}$ genellemesini kullanarak,
$CD^2 = 15r_{1}r_{2}=15^2 \Rightarrow CD=15$ bulunur.