Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2011 Soru 29

[Egemen]

$x,y,z,t$ gerçel sayılar olmak üzere $x^2+y^2+z^2+t^2-xy-yz-zt-10t$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ -34\qquad\textbf{b)}\ -37\qquad\textbf{c)}\ -40\qquad\textbf{d)}\ -42\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Egemen]

(Egemen Erbayat)

Cevap:$\boxed C$

İfadenin alabileceği en küçük değeri bulmak için tam kareye benzetmeye çalışalım.

$x^2+y^2+z^2+t^2-xy-yz-zt-10t=J$ olsun.

$(t-\dfrac{z}{2}-5)^2+(x-\dfrac{y}{2})^2+\dfrac{3}{4} (y-\dfrac{2z}{3})^2+ \dfrac{5}{12} (z-6)^2=J+40$

Tam kareler negatif olamayacağı için $J+40$’ın en küçük değeri $0$’dır. O halde $-40\le J$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{C}$

Yapılması daha kolay bir yoldan tamkareler toplamına benzetelim. $x$'in derecesinin $1$ olduğu tek terim $-xy$'dir. Oradan başlayabiliriz. Tamkare olması için gerekli $y^2$'li terimi ekleyerek, asıl ifadedeki terime tamamlamak için gerekli bir diğer $y^2$'li ifadeyi yazıp, benzer şekilde devam edelim.

$x^2-xy+\color{red}{\dfrac{y^2}{4}}=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2$
$\dfrac{3y^2}{4}-yz+\color{red}{\dfrac{z^2}{3}}=\left(\dfrac{y\sqrt3}{2}-\dfrac{z}{\sqrt3}\right)^2$
$\dfrac{2z^2}{3}-zt+\color{red}{\dfrac{3t^2}{8}}=\left(\dfrac{z\sqrt2}{\sqrt3}-\dfrac{t\sqrt3}{2\sqrt2}\right)^2$
$\dfrac{5t^2}{8}-10t+\color{red}{40}=\left(\dfrac{t\sqrt5}{2\sqrt2}-2\sqrt10\right)^2$

$-40$

İfadeler toplanırsa,
$\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+\left(\dfrac{y\sqrt3}{2}-\dfrac{z}{\sqrt3}\right)^2+\left(\dfrac{z\sqrt2}{\sqrt3}-\dfrac{t\sqrt3}{2\sqrt2}\right)^2+\left(\dfrac{t\sqrt5}{2\sqrt2}-2\sqrt10\right)^2-40$

$=x^2+y^2+z^2+t^2-xy-yz-zt-10t$

ifadesinin en küçük değerini alabilmesi için tüm tamkarelerin $0$'a eşit olması gerekir. Bu durumda da ifade $-40$ değerini alır.