Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2011 Soru 27

[Egemen]

$E$ ve $F$, $ABCD$ dışbükey dörtgeninin sırasıyla, $[BC]$ ve $[AD]$ kenarları üstünde yer alan köşelerden farklı noktalar olmak üzere; hem $A,B,E,F$ noktaları, hem de $C,D,F,E$ noktaları çemberdeştir. $|AC|=4$, $|AB|+|CD|=5$ ve $s(\widehat{BAC})= 60^\circ$ ise, $|BD|$ nedir?

$\textbf{a)}\ \sqrt{21}\qquad$ $\textbf{b)}\ \sqrt{20}\qquad $ $\textbf{c)}\ \sqrt{18}\qquad$ $\textbf{d)}\ 4\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $

[Eray]

Yanıt: $\boxed{A}$

Lemma: Şekilde $AB//CD$'dir

İspat: $\angle BAD=a \Longrightarrow \angle BEF=180-a \Longrightarrow \angle FEC=a \Longrightarrow \angle CDA=180-a$ olur. O halde $AB//CD$'dir.

$BDKA$ paralelkenarını oluşturalım. $|AB|+|CD|=5$ ve $|AB|=|KD|$ olduğundan $|KC|=5$'tir. $\angle BAC=60^\circ \Longrightarrow \angle ACK=60^\circ$
$|AC|=4$ olduğu soruda verildiğinden, $ACK$ üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanırsa $\sqrt{21}=|AK|=|BD|$ bulunur.