Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2011 Soru 26

[Egemen]

$m\le k$ olmak üzere, $100\times 100$ bir satranç tahtasının $m$ birim karesine mavi, $k$ birim karesine de kırmızı birer taş, hiçbir satır ya da hiçbir sütunda farklı renkte iki taş yer almayacak biçimde yerleştirilmişse, m en çok kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 5000\qquad\textbf{b)}\ 3500\qquad\textbf{c)}\ 2500\qquad\textbf{d)}\ 1000\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Egemen]

(Egemen Erbayat)

Cevap:$\boxed C$

Eğer $a$ adet satırda kırmızı taş bulunuyorsa, $100-a$ veya daha az satırda mavi taş vardır.

Eğer $b$ adet sütunda kırmızı taş bulunuyorsa, $100-b$ veya daha az sütünda mavi taş vardır.

Bu sayıları çarparsak maksimum kırmızı ve mavi taş sayılarını buluruz.

$a\cdot b=max(k)$ ve $(100-a)\cdot (100-b)=max(m)$

$max(m)\le max(k)$ olduğu için $(100-a)\cdot (100-b)\le a\cdot b$

$0\le 100a+100b-10000$,    $0 \le a+b-100$,     $100 \le a+b$

Terimlerimiz pozitif olduğu için Aritmetik Ortalama $\ge $ Geometrik Ortalamayı kullanalım

$\dfrac{100-a+100-b}{2} \ge \sqrt{(100-a)\cdot (100-b)}$

$\dfrac{100-a+100-b}{2}=100-\dfrac{a+b}{2}$,    $100 \le a+b$ olduğunu bulmuştuk, kullanalım.

$\dfrac{100-a+100-b}{2}\le 50$ görürüz.

$\sqrt{(100-a)\cdot (100-b)}$'nin en büyük değeri için $\dfrac{100-a+100-b}{2}=50$ olmalıdır.

$50\ge \sqrt{(100-a)\cdot (100-b)}$

$50^2\ge \sqrt{[(100-a)\cdot (100-b)]^2}$

$2500\ge (100-a)\cdot (100-b)=max(m)$