Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2011 Soru 24

[Egemen]

$AB$ doğrusu üstünde ve $B$ noktasına göre $A$ ile farklı tarafta yer alan $E$ noktasından geçen bir doğru $ABCD$ dikdörtgeninin $[BC]$ kenarını $P$, $[AD]$ kenarını da $Q$ noktasında kesiyor. $|AB|=1$, $|BE|=3$, $|AD|=5$ ve $PCDQ$ yamuğunun alanı $PQAB$ yamuğunun alanının iki katı ise, $|BP|$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{7}{5}\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{4}{3}\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{5}{3}\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{10}{7}\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{D}$

$|BP|=x$ diyelim. Thales Benzerliği'nden $|AQ|=\dfrac{4x}{3}$ olur. Ve dikdörtgende $|AD|=|BC|=5$ olduğundan $|PC|=5-x, |QD|=5-\dfrac{4x}{3}$ olur. Şimdi $PCDQ$ ve $PQAB$ yamuklarının alanlarını oranlayıp $2$'ye eşitleyelim. Yükseklikleri aynı olduğundan alanları alt ve üst tabanları toplamıyla orantılıdır.
$\dfrac{\text{Alan}(PCDQ)}{\text{Alan}(PQAB)}=\dfrac{5-\dfrac{4x}{3}+5-x}{\dfrac{4x}{3}+x}=2 \Longrightarrow x=\dfrac{10}{7}$ bulunur.