AHO

[geo]

$ABC$ üçgeninde $\angle B = 78^\circ$ ve $\angle C = 48^\circ$ dir. $AH$ yükseklik, $O$ da çevrel merkez olmak üzere; $\text{Alan}(ABC)/\text{Alan}(AHO)$ nedir?

[Eray]

Trigonometrik çözüm yapmak için oldukça uygun bir sorudur.

$ABC$ üçgeninin çevrel çemberinde $\angle ABC$ çevre açısıyla $\angle AOC$ merkez açısı aynı yayı görmektedirler. O halde $\angle AOC=2\cdot \angle ABC=156^\circ$'dir.
$O$'dan $AC$'ye inilen dikme ayağı $D$ olsun. $\angle AOD=\angle DOC=78^\circ$ ve $\angle OAD=12^\circ$ olur.
Ayrıca $AH$ yükseklik olduğundan $\angle BAH=12^\circ$'dir. O halde $\angle HAO=54^\circ-12^\circ-12^\circ=30^\circ$ olur.

$|AD|=\sin78$ diyerek başlayalım. $AOD$ üçgeninde Sinüs Teoremi gereği $|AO|=\sin90=1$'dir.
Ayrıca $|DC|=|AD|=\sin78$ olduğundan $|AC|=2\cdot\sin78$ olur. $ABC$ üçgeninde Sinüs Teoremi gereği $|AB|=2\cdot\sin48$'dir.
$ABH$ üçgeninde Sinüs Teoremi gereği $|AH|=2\cdot\sin48\cdot\sin78$'dir.

$\text{Alan}(ABC)=\dfrac{|AB|\cdot|AC|\cdot\sin54}{2}=\dfrac{2\cdot\sin48\cdot2\cdot\sin78\cdot\sin54}{2}=2\cdot\sin48\cdot\sin78\cdot\sin54$
$\text{Alan}(AHO)=\dfrac{|AH|\cdot|AO|\cdot\sin30}{2}=\dfrac{2\cdot\sin48\cdot\sin78\cdot1\cdot\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{\sin48\cdot\sin78}{2}$

$\Longrightarrow \text{Alan}(ABC)/\text{Alan}(AHO)=\dfrac{2\cdot\sin48\cdot\sin78\cdot\sin54}{\dfrac{\sin48\cdot\sin78}{2}}=4\cdot\sin54$
$\sin54=\dfrac{\sqrt5+1}{4}$ olduğundan $\text{Alan}(ABC)/\text{Alan}(AHO)=4\cdot\sin54=\sqrt5+1$'dir.

[geo]

$[ABC] = \dfrac {abc}{4R} = \dfrac{ah_a}2 \Rightarrow bc = 2Rh_a$.

$[ABC]/[AHO] = \dfrac{b\cdot c\cdot \sin \angle BAC}{R\cdot h_a \cdot \sin \angle OAH} = 2 \cdot \dfrac{\sin 54^\circ}{ \sin 30^\circ} = 4\sin 54^\circ = 4 \cdot \dfrac{\sqrt 5 + 1}{4} = \sqrt 5 + 1$