Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2011 Soru 19

[Egemen]

$r$ pozitif gerçel sayısı $2r-\dfrac{3}{2r + 4}= 4$ eşitliğini sağlıyorsa, $r +\dfrac{3}{4r + 8}$ nedir?

$\textbf{a)}\ 2\sqrt5-2 \qquad\textbf{b)}\ \sqrt6 \qquad\textbf{c)}\ \sqrt19-2 \qquad\textbf{d)}\ \sqrt5 \qquad\textbf{e)}\ \sqrt18-2\ $

[Eray]

Yanıt: $\boxed{C}$

$2r+4$ sayısına $a$ diyelim. Verilen eşitlik $a-4-\dfrac{3}{a}=4\Longrightarrow a-\dfrac{3}{a}=8$'dir.
Bize sorulan şey olan $r +\dfrac{3}{4r + 8}=k$ diyelim. $2k=2r+\dfrac{3}{2r+4} \Longrightarrow 2k=a-4+\dfrac{3}{a} \Longrightarrow 2k+4=a+\dfrac{3}{a}$'dır.
Yani $a+\dfrac{3}{a}$ ifadesinin değerini bulmalıyız. Bunun için $a-\dfrac{3}{a}=8$ eşitliğinin karesini alalım:
$a^2 - 6 + \dfrac{9}{a^2}=64 \Longrightarrow a^2+6+\dfrac{9}{a^2}=76$. Şimdi karekökünü alalım:
$a+\dfrac{3}{a}=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$
$a+\dfrac{3}{a}=2k+4$ dediğimizden $2k+4=2\sqrt{19} \Longrightarrow k=\sqrt{19}-2$'dir.