Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2011 Soru 16

[Egemen]

Aşağıdaki sayıların en küçüğü hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt 3}{6}\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt 10}{11} \qquad\textbf{c)}\ \sqrt5-2 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{4} \qquad\textbf{e)}\ {3\sqrt 2}-{4}\ $

[Egemen]

(Egemen Erbayat)

Yanıt:$\boxed C$

Sayıların karelerini alsakta sıralama değişmez.a,b,d şıklarınının karelerini alalım.
$(\dfrac{\sqrt{3}}{6})^2=\dfrac{1}{12}=\dfrac{10}{120}$

$(\dfrac{\sqrt{10}}{11})^2=\dfrac{10}{121}$

$(\dfrac{1}{4})^2=\dfrac{1}{16}=\dfrac{10}{160}$

a,b,d şıklarını karşılaştırırsak d'nin küçük olduğunu görürüz.


$\dfrac{1}{4}$ ile $3\sqrt2-4$'ı karşılaştıracağız.
$\dfrac{1}{4}$ büyük olduğunu varsayalım. İfadeleri 4 ile genişletelim.

$1>12\sqrt2 -16$
$(12\sqrt2 -16).(12\sqrt2 +16)=32$
$(12\sqrt2 +16)>32$ olduğu bellidir. 

$(12\sqrt2 +16)>32\Rightarrow (12\sqrt2 -16)<1$, $3\sqrt2-4$ daha küçüktür.

c ve e şıklarını eşlenikleri ile çarpalım.

$(\sqrt5-2).(\sqrt5+2)=1$, $(3\sqrt2-4).(3\sqrt2+4)=2$

$2.(\sqrt5-2).(\sqrt5+2)=(3\sqrt2-4).(3\sqrt2+4)$
$2.(\sqrt5+2)>(3\sqrt2+4)$ olduğu için $3\sqrt2-4$ daha büyüktür.
O halde en küçük sayı $\sqrt5-2$'dır