Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2011 Soru 12

[Egemen]

$E$, $ABCD$ paralelkenarının iç bölgesinde bir nokta olmak üzere; $AE$ doğrusu $[DC]$ kenarını $F$ noktasında, $CE$ doğrusu da $[AD]$ kenarını $G$ noktasında kesiyor. $|DF|/|FC| = 3/2,\ |DG|/|GA| = 3/5$ ve Alan$(AEG)$ $- $Alan$(CEF) = 9$ ise, Alan$(ABCD)$ nedir?

$\textbf{a)}\ 95 \qquad\textbf{b)}\ 90 \qquad\textbf{c)}\ 85 \qquad\textbf{d)}\ 80 \qquad\textbf{e)}\text{Hiçbiri}\ $

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)
Yanıt: $\boxed{D}$

$[FC]=2x$ ve $[DF]=3x$ ; $[DG]=3k$ ve $[GA]=5k$ olsun. Menaleus yaparsak $[AE]=25m$ ve $[EF]=6m$ buluruz. $Alan(CEF)=2T$ ve $Alan(AEG)=2T+9$ olsun. Taban ve alan ilişkisinden $Alan(DEG)=\dfrac{6T+27}{5}$ bulunur. O zaman $Alan(ADE)=\dfrac{16T+72}{5}$ olur. Yine taban ve alan ilişkisinden $Alan(DEF)=3T$ olur. En son olarak bu ilişkiyi bir daha uygularsak $\dfrac{\dfrac{16T+72}{5}}{25m}=\dfrac{3T}{6m}$ olur. Gerekli sadeleştirmeler ve düzenlemeler yapıldığında $T=\dfrac{48}{31}$ bulunur. Şimdi paralelkenarın alanını bulalım. Taban ve alandan $Alan(AEC)=\dfrac{25T}{3}$ bulunur. $Alan(ADC)=(\dfrac{16T+72}{5})+3T+2T+\dfrac{25T}{3}=\dfrac{248T+216}{15}$ olur. $T$ yerine $\dfrac{48}{31}$ yazarsak sonucu $40$ buluruz. Sonuç olarak $Alan(ABCD)=2.Alan(ADC)=80$ dir.